Anfangswertproblem lösen. y' = x^3 y^4 mit y(1) = ³√3

Question

kann mir jemand die Aufgabe lösen? Ich weiß komplett nicht wie ich vorgehen soll

Answer 1

a)

Trennung der Variablen:

dy / dx = x³ y⁴   | • y^-4  | • dx

  y^-4 dy = x³ dx    

 ∫ y^-4 dy = ∫ x³ dx    

 -1/3 y^-3 =  1/4 x⁴ + c₁   | •(-3)  | ^-1/3

    y = ( -3/4 x⁴ + c ) ^-1/3  = 1 / ( -3/4 x⁴ + c ) ^1/3 

Anfangsbedingung zur Bestimmung von c:

y(1) =  [ 1 / ( -3/4 + c ) ] ^1/3  = 3^1/3

^→    1 / ( -3/4 + c ) = 3  →  1 = - 9/4 + 3c  →  3c = 13/4 →  c = 13/12

Also:  y = [ 1 / ( -3/4 x⁴ + 13/12 ) ] ^1/3  = ³√[ 1 / ( -3/4 x⁴ + 13/12 ) ]

b)  Die Lösung verläuft sehr ähnlich:

∫ y⁴ dy = ∫ 3x² dx .....

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hi,

hier kann man die Variablen doch super separieren. Das ist dann auch der Ansatz ;).

y' = x^3*y^4

y'/y^4 = x^3           |integrieren

-1/3*1/y^3 = x^4/4 + c   |nach y umformen

y = ³√4/(³√(-3x^4+3c))

Jetzt noch Dein Anfangswert einsetzen;

y(1) = ... -> c = 13/9

y = ³√4/(³√(-3x^4+13/3))

Für das zweite ebenfalls Separation der Variablen verwenden:

1/3*x*y' = x^3/y^4

y'*y^4 = 3*x^2           |integrieren

y^5/5 = x^3 + c         |Nach y auflösen

y = ⁵√(5x^3+5c)

Jetzt noch Deinen Anfangswert einsetzen:

y(2) = ... --> c = 16

--> y = ⁵√(5x^3 + 80)

Grüße

Anmerkung: Du kannst c auch anders wählen, (bspw. bei letzterer Aufgabe 5c = d. Dann ändert sich eben der Wert für die Konstante. Das Ergebnis sollte dennoch gleich aussehen

Answer 3

alternativ , hab mal b gerechnet , Lösung auch als exakte DGL möglich: