Zu der Antwort von Georg Born . Die Quotientenregel ( QR ) ist ABSOLUT TÖDLICH .
Ihr müsst sie MEIDEN WIE DIE PEST .
Nicht allein das Mühselige bei ihrer Handhabung; ihr typischer Nachteil ist die falsche Asymptotik.
Damit meine ich: Die Ableitung einer Polstelle 2. Ordnung ergibt stets eine Polstelle 3. Ordnung. Hier dagegen wirst du durch den v ² Term der QR zu 4. Ordnung verleitet.
In deinem Falle schlage ich ===> logaritmisches Differenzieren vor, eine Sonderform des ===> impliziten Differenzierens.
ln ( y ) = ln ( x ² + 4 x ) - 2 ln ( x ² - x - 2 ) ( 1 )
x + 2 2 x - 1
y ' / y = 0 = 2 ------------------------- - 2 ---------------------------- | * HN ( 2 )
x ² + 4 x x ² - x - 2
Insbesondere für die Zwecke der Kurvendiskussion ( KD ) müssen wir uns der Aufgabe unterziehen, mit dem HN zu multiplizieren; diese undankbare Aufgabe überlasse ich liebend gerne Wolfram.
Wolfram bestätigt übrigens dein Polynom. Gleich für x > 0 brettert die cartesische Vorzeichenregel ( CV ) übrigens auf einen Entartungsfall - hier wie soll demm die Summe aus drei positiven Termen Null werden ( !? )
Für negative x hingegen liefert die CV ein sehr elegantes Ergebnis; genau einen kritischen Punkt. Wolfram gibt sogar einen elementaren Wert an; keine Ahnung, ob das nur mit dem offiziellen Cardanohammer geht . . .
Ich hab das jetzt mehr dir zu Gefallen gemacht; Aktion ===> ceterum censeo. Lange vor irgendwelchen Ableitungen hat eine KD erst mal mit der Grobskizze zu beginnen, damit du dich zu Recht kennst, was so abgeht.
Zunächst mal haben wir zwei Nullstellen
x1 = ( - 4 ) ; x2 = 0 ( 3 )
Schau mal, was Pappi alles weiß:
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Soll ich auch hier wieder meine Philippika reiten, dass der SRN " nie in se Leben " von Gauß ist? Der wurde 2006 anonym im Internet gefunden. Noch in der Woche, als ich davon erfuhr, gelangen mir selbst drei Entdeckungen zu dem Tema; und ich heiß weder Carl noch Friedrich . . .
Mit dem Satz von Vieta gelingt es uns jetzt Mühe los, das Nennerpolynom deiner Funktion zu faktorisieren.
x ² - p x + q = 0 ( 4a )
p = X1 + X2 = 1 ( 4b )
q = X1 X2 = ( - 2 ) ( 4c )
Gesucht in ( 4c ) sind auf Grund des SRN GANZZAHLIGE Teiler des Absolutgliedes Primzahl 2 ; und da haben wir augenscheinlich nicht allzu viel Auswahl. Lediglich das Vorzeichen ist noch richtig zu drehen im Hinblick auf ( 4b ) ; wir finden die beiden ( doppelten ) Polstellen
X1 = ( - 1 ) ; X2 = 2 ( 4d )
Jetzt stecken wir den Slalom ab. Bei einer gebrochen rationalen Funktion musst du immer von Rechts kommen. Der Nenner ist eh immer positiv; rechts von x = 0 ( siehe ( 3 ) ) ist der Graf positiv und verebbt asymptotisch bei 8 + 0 ) , weil Nennergrad > Zählergrad.
Da es rechts von X2 keinen Nulldurchgang gibt, wächst die Funktion monoton, kommt aber auch links von der doppelten Polstelle X2 von ( + °° ) wieder. Bei x2 = 0 wechselt sie das Vorzeichen und geht rechts von X1 nach ( - °° ) ; in diesem Intervall erwarten wir einen WP ( Zweite Ableitung wurde aber nicht untersucht. )
Links von X1 kommt sie wieder von Minus Unendlich; wegen der Nullstelle in x1 und weil sie jetzt asymptotisch in ( + 0 ) verebbt, erwarten wir insgesamt
x1 ( w ) < x ( max ) < ( - 4 ) < ( - 1 ) < x2 ( w ) < 0 ( 5 )
