Exponentialgleichung auflösen ohne GTR 0,5^x - 0,5^{x+2} = 2,5

Question

Die Gleichung:

0,5^x - 0,5^{x+2} = 2,5

Die Lösung beträgt:

= (ln(10)-ln(3))/ln(0,5)

= -1,737

Die Frage ist wie kommt man auf die Lösung (ohne GTR - Lösung mit ln)

Wie sind die Rechenschritte?

Vielen Dank

Answer 1

0,5^x - 0,5^x+2 = 2,5

Answer 2

Hi,
die Gleichung
$$ \left( \frac{1}{2} \right)^x-\left( \frac{1}{2} \right)^{x+2} = \frac{5}{2} $$
kann man vereinfachen durch ausklammern zu
$$  \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2} \right)^x = \frac{5}{2} $$ Daraus folgt
$$ \left( \frac{1}{2} \right)^x = \frac{10}{3}  $$ also
$$ -\ln(2) \cdot x = \ln(10)-\ln(3)  $$ also
$$ x = \frac{\ln(3) - \ln(10)}{\ln(2)}  $$