Untersuchen Sie, welche der folgenden linearen Abbildungen injektiv oder surjektiv sind:

Question

Guten Tag zusammen ich bräuchte Hilfe bei folgender Klausur Aufgabe...

Untersuchen Sie, welche der folgenden linearen Abbildungen injektiv oder surjektiv sind: 

Meine Lösungen:

i) Da man den 2ten Vektor mit *(-2) Multiplizieren kann und somit den ersten Vektor erhält und dieser  gleich      viele Zeilen wie A hat ist i) Surjektiv.

ii) Bei dieser Aufgabe bin ich leicht überfragt.. wenn ich raten müsste würde ich Bijektiv sagen da Abbildungsmatrix identisch mit seinem Bild ist.

iii) B * A: Mit A schon im R³

x
x	y
x	-y

*

2x	-y	2x
-4x	2y	-4x

=

-2x²	xy	-2x²
-2x²-2xy	xy+y²	-2x²-2xy
-2x²+2xy	xy-y²	-2x²+2xy

Da erster Vektor = 3ter Vektor würd ich sagen das diese Surjektiv ist, da Zeilenanzahl der Abbildung = Zeilenanzahl des Bilds.

mfg

Marco

Answer 1

A in Matrixform gibt die Matrix

2      -1
-4      2

also gilt z.B.   A *  ( 1 ; 2 )^T = 0-Vektor 

und da außerdem A * ( 0;0)^T =  0-Vektor gilt ist

die Abb . nicht injektiv und weil sie von R^2 nach R^2 geht, damit auch nicht surjektiv.

kannst du auch sofort prüfen

A * (x;y)^T = ( 1;1) hat keine Lösung, also nicht sur.

bei B injektiv, denn wenn zwei Bilder gleich sind, dann auch die Urbilder,

aber nicht surjektiv, da z.B. ( 1;2;3) nicht als Bild vorkommt.

Comments

Ok das mit in Matrixform umschreiben hab ich vergessen.

Nur was hat A * ( 1 ; 2 ) ^T = 0-Vektor zu bedeuten? Hab ich leider noch nie gesehen...

Ok das wusste ich nicht das von R² -> R² nie surjektiv ist.

Dasselbe wie bei der B, danke für den Tipp dort.

Und was ist mit der iii) ? 

Ist die Korrekt so?