Partialbruchzerlegung ∫ (2x+1)/(x+2)^2 dx

Question

könnt ihr mir bei meinem Problemchen weiterhelfen?Ich soll dieses Integral  ∫ (2x+1)/(x+2)^2 dx mithilfe von Partialbruchzerlegung berechnen.Bisher bin ich auf folgendes gekommen:
(2x+1)/(x+2)^2 = A/(x+2) + B/(x+2)^2
Der Zähler von B ist ja quadriert, weil es eine doppelte Nullstelle gibt,dann habe ich nur A erweitert, um auf den selben Nenner zu kommen, also:
(A(x+2))/((x+2)(x+2)) + B/(x+2)^2 

daraus ergibt sich dann ja:
2x+1=A(x+2)+Bwenn man hier dann für x= -2 einsetzt, dann bekommt man für B=-3 raus.Aber was ist nun mit A? Ab hier weiß ich nicht mehr wie ich weiter machen soll.Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
Vielen Dank schon mal :o)

Answer 1

Schau mal auf die Seite

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

Dort kannst du dir eine Partialbruchzerlegung an eigenem Beispiel vorrechnen lassen.

Comments

Dankeeeschönn :o)

Answer 2

> 2x+1 = A(x+2) + B

⇔  2x + 1 = Ax + 2A+B

Koeffizientenvergleich:

A=2   und  2A+B = 1 → B = -3

(2x+1) / (x+2)² = 2 / (x+2)  - 3 / (x+2)² 

 ∫  (2x+1) / (x+2)² dx = 2•ln(x+2) + 3 / (x+2) + c

Gruß Wolfgang

Comments

könnten Sie mir denn erläutern wieso 3 / (x+2)?

das leuchtet mir noch nicht ganz ein :o(

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Eine  Stammfunktion  von   k / x²  ist  -k / x    (Kannst du durch Ableiten prüfen)

Answer 3

Bei derartig übersichtlichen Termen lässt sich die Partialbruchzerlegug auch ohne Ansatz leicht durchführen. Wegen \(1=4-3\) ergibt sich sofort:
$$ \int {\frac { 2x+1 }{ \left(x+2\right)^2 }} \text{ d}x = \int {\frac { 2\left(x+2\right)-3 }{ \left(x+2\right)^2 }} \text{ d}x = \int {\frac { 2 }{ x+2 } + \frac { -3 }{ \left(x+2\right)^2 }} \text{ d}x $$Das waren etwa zwei bis drei elementare Rechenoperationen bis zum Ergebnis!