was bewirkt der exponent bei der e-funktion?

Question

Der Verlauf von e^x und e^-x ist mir bekannt. Auch weiß ich, dass sich die Funktion e^x-1 durch eine Verschiebung um eine Einheit nach rechts von e^x ergibt.

Aber was bewirkt z. B. der Exponent x² gei der e-Funktion, also e^x² oder e^x²-1?

LG

Answer 1

Das ist eine Stauchung in x-Richtung. Allerdings nicht linear sondern halt quadratisch.

Jörn Loviscach hat das auf seinem Youtube-Kanal mal recht gut erklärt gehabt. Leider weiß ich nicht mehr welches Video das war :(

Answer 2

> Auch weiß ich, dass sich die Funktion e^x-1 durch eine Verschiebung um eine Einheit nach rechts von e^x ergibt.

Ja, das sagst du jetzt so einfach. Andererseits kannst du auch argumentieren, dass e^x-1 = e^x / e¹ = 1/e·e^x ist (wegen Potenzgesetze und Bruchrechnung). Also entsteht der Graph von e^x-1aus dem Graphen von e^x durch Stauchung um den Faktor 1/e entlang der y-Achse.

Wie du siehst, ist die anzuwendende Transformation nicht immer eindeutig. Durch algebraische Umformungen kommt man manchmal zu anderen Transformationen als es geometrisch den Anschein macht. Viel schlimmer noch:

> Aber was bewirkt z. B. der Exponent x² gei der e-Funktion, also e^x² oder e^x²-1?

Manchmal kommt man durch geometrische Überlegungen überhaupt nicht zu einer anschaulischen Transformation. Da hilft dann nur der algebraische Weg:

Bei e^x² wird die e-Funktion auf x² angewendet. Insbesondere ist x² symmetrisch bezüglich der y-Achse. Also ist auch e^x² symmetrisch bezüglich der y-Achse (es ist  ja egal ob ich -3 oder 3 für x einsetze). Für positive x wächst x² anfangst langsamer und ab x=1 stärker als x. Gleiches macht e^x²: es wächst um 0 herum langsamer als e^x und ab x=1 stärker als e^x. Und, wie gesagt, symmetrisch bezüglich der y-Achse. Ein zusätzliches -1 im Exponenten skaliert das wieder. Dieses mal ist es allerdings keine Verschiebung, dazu hätte  es e^(x-1)2 heißen müssen.