Reihe berechnen Exponential

Question

ich habe eine Frage, ich habe letzte Woche meine Mathe 1 Klausur geschrieben und mir geht eine AUfgabe nicht aus dem Kopf, vielleicht könnt ihr mir helfen.

Also ich soll die folgene Reihe berechnen:
$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 2^{ n } }{ (n+1)! }  } $$

Mir war schon bewusst , dass es etwas mit der Exponentialfunktion zutun hat und habe als erstes meine 0-ten Schritt abgezogen damit ich bei n=0 starte. Danach habe ich mir im Nenner (n+1) aus der Fakultät geholt damit dass ganze der exp-Reihe ähnlicher wird , nur danach kam ich nicht weiter.

$$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ (\frac { 2^{ n } }{ n*\quad (n+1) } )-2 } $$

Vielleicht hat einer eine Idee, damit ich wieder ruhig schlafen kann :D

Answer 1

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac { 2^n }{ (n+1)!}=[\sum_{n=0}^{\infty} \frac { 2^n }{ (n+1)!}] -1= \frac { 1 }{ 2 }[\sum_{n=0}^{\infty} \frac { { 2 }^{ n+1 } }{ (n+1)!}] -1=\frac { 1 }{ 2 }[\sum_{k=1}^{\infty} \frac { { 2 }^{ k } }{ (k)!}] -1 =\frac { 1 }{ 2 }[\sum_{k=0}^{\infty} \frac { { 2 }^{ k } }{ (k)!}] -1-0.5=\frac { 1 }{ 2 }e^2-1.5 $$