vollständige Induktion: Komme beim Induktionsschritt nicht weiter

Question

Für alle  n ∈ ℕ gilt:

$$ n\quad \ge \quad { 4 }\quad :\quad { 2 }^{ n }\quad <\quad { n! } $$

Induktionsbasis: n = 2        2 ≥ 1 < 2

InduktionsVoraussetzung: $$ n\quad \ge \quad { 4 }\quad :\quad { 2 }^{ n }\quad <\quad { n! } $$

Induktionshypothese: $$ n+1\quad \ge \quad { 4 }\quad :\quad { 2 }^{ (n+1) }\quad <\quad { (n+1)! } $$

Induktionsschritt:

n+1 ≥ 4 : (2ⁿ * 2²⁾ < n! * (n+1)

n * (n+1) ≥ (n+1)/2ⁿ < n! * (n+1)

ab da komme ich nicht mehr weiter

Answer 1

Der Induktionsanfang muss mindestens für x =4 geschaffen werden: 2⁴ ≤ 4! oder 16 ≤ 24.
Die Induktionsvoraussetzung lautet 2ⁿ ≤ n!
Unter Rückgriff auf diese Voraussetzung soll gelten 2ⁿ⁺¹ ≤ (n+1)!

Beweis 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ·2 ≤ n! ·2 (gemäß Voraussetzung). n!·2 ≤ n! · (n+1) =(n+1)! für n ≥ 4