Vollständige Induktion - Ich komme beim Induktionsschritt nicht weiter

Question

Aufgabe
Beweise mit vollständiger Induktion, dass die folgenden Formeln für alle natürliche Zahlen n gelten.

Gegeben
$${ s }_{ n }=\quad \frac { 1 }{ 1*2 } +\frac { 1 }{ 2*3 } +\frac { 1 }{ 3*4 } +...+\frac { 1 }{ n(n+1) } =\frac { n }{ n+1 } $$

Induktionsanfang n = 1
$$\\ \frac { 1 }{ 1(1+1) } =\frac { 1 }{ 1+1 } \\ \frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } $$

Induktionsvoraussetzung: Ich zeige dass es auch für ein festes n∈ℕ gilt
$${ s }_{ n }=\quad \frac { 1 }{ 1*2 } +\frac { 1 }{ 2*3 } +\frac { 1 }{ 3*4 } +...+\frac { 1 }{ n(n+1) } =\frac { n+1 }{ (n+1)+1 } $$

Induktionsschritt
Ich habe ja bereits gezeigt, dass s_(n) für n=1 richtig ist und deswegen darf ich das so umschreiben:

$$\frac { 1 }{ n(n+1) } =\frac { n+1 }{ (n+1)+1 } $$

Und beim Auflösen komme ich nicht weiter als das:

$$\frac { 1 }{ n(n+1) } =\frac { n+1 }{ (n+1)+1 } \\ \frac { 1 }{ n(n+1) } =\frac { n }{ (n+1)+1 } +\frac { 1 }{ (n+1)+1 } \\ \frac { 1 }{ n(n+1) } =\frac { n }{ (n+2) } +\frac { 1 }{ (n+2) } $$

Answer 1

Hi limonade,

das passt so leider nicht. Bei der IV hast Du auf der linken Seite keinen neuen Summanden hinzugefügt. Aber auch da gilt, dass aus n n+1 wird. Und beim IS hast Du zwei verschiedene Dinge gleichgesetzt. Eher so:

IA passt, und dann soll man nun zeigen, dass

$$\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \;...\; + \frac{1}{n(n+1)} + \color{red}{\frac{1}{(n+1)((n+1)+1)}}  = \color{limegreen}{\frac{n+1}{(n+1)+1}}$$

gilt. Dabei wurde links der letzte Summand hinzugenommen und rechts ebenfalls n durch n+1 erweitert.

Nun kann man die IV verwenden und alles vor dem roten über \(\frac{n}{n+1}\) ausdrücken. Haben also links stehen:

$$\frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}$$

Das versuchen wir so umzuformen, dass wir später die rechte Seite stehen haben. Erweitern wir also mit (n+2) und schreiben alles auf einen Bruchstrich:

$$=\frac{n(n+2) + 1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)} = \color{limegreen}{\frac{n+1}{n+2}}$$

Und das ist genau das, was wir oben auf der rechten Seite stehen haben :).

Grüße

Comments

Jawohl, dass hab ich vergessen dazu zu nehmen, ich soll also das was ich für n=1 gezeigt habe hinschreiben als das "Bildungsgesetz" und dazu nehme ich noch eben dieses Bildungsgesetz und setze dort für n nun n+1 ein. 

Diesen Schritt habe ich bei dieser Aufgabe weggelassen :-/