ich habe folgende Reihe gegeben, die ich auf Konvergenz untersuchen und ggf. den Grenzwert berechnen soll:
$$ \sum _{n=1}^{\infty }\:\left(\frac{\left(n^n\right)}{\left(n!\right)^2}\right) $$
Durch das Quotientenkriterium komme ich auf folgenden Ausdruck:
$$ \frac { (n+1)^{n+1} }{ ((n+1)!)^{2} } \cdot \frac { (n!)^{2} }{ n^{n} } $$
Wie kann ich hier weiterrechnen?
Im Internet erhalte ich durch einen Rechner folgenden Weg:
Für n+1 wird n(1+1/n) geschrieben:
$$ \lim _{n\to \infty \:}\left(\left|\frac{\left(n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)^{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}n!^2}{\left(n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)!^2n^n}\right|\right) $$
Und dann schreibt der Rechner wiefolgt um:
$$ \lim _{n\to \infty \:}\left(e^{-\Re \left(n\ln \left(n\right)\right)}\right) $$
$$ \lim _{n\to \infty \:}\left(n^{-n}\right) $$
$$ \lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{1}{n^n}\right) = 0$$
