Reihe auf Konvergenz untersuchen/Term umformen

Question

Aufgabe:

Ich habe hier eine Reihe, die ich auf Konvergenz untersuchen soll:

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}(\sqrt{a}(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}))^{a}$$

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits das gezeigt, dass:

$$(\sqrt{a}(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}))^{a}$$

eine Nullfolge ist, also ist die not. Bedingung erfüllt.

Ich hatte mir überlegt das ganze mit dem Majorantenkriterum zu machen und hab mir dafür die Reihe:

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a^2}$$

rausgesucht. Damit das Kriterium erfüllt ist, muss ich zeigen, dass:

$$0\leq a_n \leq b_n$$ ist. Ich habe das für ein paar Werte einfach mal ausprobiert und das scheint zu passen. Leider stoße ich hier allerdings auf Probleme bei der Umformung/beim Beweis von diesem Ausdruck:

$$(\sqrt{a}(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}))^{a} \leq \frac {1} {a^2} \iff (\sqrt{a^2+a}-a)^a \leq \frac {1} {a^2}$$

Kann mir da jemand helfen? Bzw. gibt es vielleicht eine bessere Majorante oder gar ein besseres Kriterium?

Comments

Muss der Exponent a nicht ein n sein ?

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Ja, bei der Summe hatte ich den Laufindex n noch standardmäßig drin, hatte ich übersehen. Ob das jetzt a oder n ist macht kein Unterschied, man kann nat. auch schreiben:

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}(\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}))^n$$

Answer 1

Aloha :)

Die einzelnen Summanden kannst du gegen \(\left(\frac12\right)^n\) abschätzen, denn$$a_n=\left(\sqrt n\cdot\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)\right)^n=\left(\sqrt n\cdot\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt n\right)}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt n\right)}\right)^n$$$$\phantom{a_n}=\left(\sqrt n\cdot\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\right)^n=\left(\sqrt n\cdot\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\right)^n<\left(\sqrt n\cdot\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt n}\right)^n$$$$\phantom{a_n}=\left(\sqrt n\cdot\frac{1}{2\sqrt n}\right)^n=\left(\frac12\right)^n$$

Mit Hilfe der geometrischen Reihe ist dann klar:$$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\le\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac12\right)^n=\frac{1}{1-\frac12}=2$$

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Dankeschön :D