Konvergenz einer Reihe zeigen Majorantenkriterium

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 3 (Konvergenz)
a) Zeigen Sie mit Mitteln Ihrer Wahl, dass die Reihe
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{n !} \)

Hallo Zusammen,

ich möchte diese Aufgabe lösen, und habe einen Ansatz, weiß allerdings nicht, ob das so funktioniert.

Mein Ansatz ist in diesem Fall das Majorantenkriterium:\( \frac{a}{b} \)

Ich wähle (bn) = \( \frac{1}{n!} \), da \( \frac{1}{n!} \) <  \( \frac{(1+\frac{1}{n})^2}{n!} \) , wobei (an) dann als Majorante dient.

Ich zeige nun mithilfe des Quotientenkriteriums, dass die die Reihe über \( \frac{1}{n!} \) Konvergiert.

Vielen Dank!

Answer 1

Ist dir bekannt, dass \( (1+\frac{1}{n})^n <e\) gilt?

Und dass \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !} \) den Wert e-1 ergibt?

Es gilt \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{n !} \)<\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{e}{n !} \) =e\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !} =e(e-1)\).

Comments

Es gilt \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(1+\frac1n\right)^n}{n!}<\sum_{n=1}^\infty\frac{\mathrm e-1}{n!}\dots\)

Warum das?

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Du hast recht, die -1 ist mir an die falsche Stelle im Formeltext gerutscht. Habe es korrigiert.