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Aufgabe:

Es sei (an)nN(a_n)_{n\in \mathbb{N}} eine Folge in R+\mathbb{R}^+. Zeigen Sie:

limn1k=1nak+1ak=0\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\sum\limits_{k=1}^n a_k+\frac{1}{a_k}} =0



Problem/Ansatz:

Wie beweise ich das?

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Hallo :-)

Du kannst deine Summe zunächst einmal nachoben und nachunten abschätzen, um daraus zwei einfachere Grenzwertbetrachtungen machen zu können:

1.) 1k=1nak+1ak1k=1nak1k=1ninfkN1{ak}= : c=1cn\frac{1}{\sum\limits_{k=1}^na_k+\frac{1}{a_k}}\leq \frac{1}{\sum\limits_{k=1}^n a_k}\leq \frac{1}{\sum\limits_{k=1}^n \underbrace{\inf\limits_{k\in \mathbb{N}_{\geq 1}}\{a_k\}}_{=:c}}=\frac{1}{c\cdot n}

2.) 01k=1nak+1ak0\leq \frac{1}{\sum\limits_{k=1}^n\frac{a_k+1}{a_k}}

Und daraus kannst du jetzt erkennen, warum

limn1k=1nak+1ak=0 \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\sum\limits_{k=1}^na_k+\frac{1}{a_k}}=0

gilt.

Avatar von 15 k

Würde das als Beweis reichen?

Kennst du nicht das Einschließkriterium für Folgen? Auch bekannt als Sandwichsatz.

Du hast Dich bei der Lösung für die Version (a+1)/a entschieden. Eigentlich steht da a+1/a.

Danke, ich habe es korrigiert und entsprechend aufgeführt.

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Aloha :)

Für x>0x>0 gilt:0(x1)2=x22x+1    x2+12x     : xx+1x20\le(x-1)^2=x^2-2x+1\quad\implies\quad x^2+1\ge2x\quad\stackrel{:x}{\implies}\quad x+\frac1x\ge2

Da hier alle Folgenglieder anR+a_n\in\mathbb R^+ sind, gilt:

k=1n(ak+1ak)k=1n2=2n    1k=1n(ak+1ak)12n\sum\limits_{k=1}^n\left(a_k+\frac{1}{a_k}\right)\ge\sum\limits_{k=1}^n2=2n\quad\implies\quad\frac{1}{\sum\limits_{k=1}^n\left(a_k+\frac{1}{a_k}\right)}\le\frac{1}{2n}

Damit ist klar:0limn1k=1n(ak+1ak)limn12n=00\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sum\limits_{k=1}^n\left(a_k+\frac{1}{a_k}\right)}\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2n}=0

Avatar von 152 k 🚀

Wie bist du darauf gekommen, dir die hier nützliche Abschätzung 0(x1)20\leq (x-1)^2 anzuschauen? :D

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