Zeigen Sie bei der Folge den Limes

Question

Aufgabe:

Es sei \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) eine Folge in \(\mathbb{R}^+\). Zeigen Sie:

$$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\sum\limits_{k=1}^n a_k+\frac{1}{a_k}} =0$$

Problem/Ansatz:

Wie beweise ich das?

Answer 1

Hallo :-)

Du kannst deine Summe zunächst einmal nachoben und nachunten abschätzen, um daraus zwei einfachere Grenzwertbetrachtungen machen zu können:

1.) \(\frac{1}{\sum\limits_{k=1}^na_k+\frac{1}{a_k}}\leq \frac{1}{\sum\limits_{k=1}^n a_k}\leq \frac{1}{\sum\limits_{k=1}^n \underbrace{\inf\limits_{k\in \mathbb{N}_{\geq 1}}\{a_k\}}_{=:c}}=\frac{1}{c\cdot n}\)

2.) \(0\leq \frac{1}{\sum\limits_{k=1}^n\frac{a_k+1}{a_k}}\)

Und daraus kannst du jetzt erkennen, warum

$$ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\sum\limits_{k=1}^na_k+\frac{1}{a_k}}=0 $$

gilt.

Comments

Würde das als Beweis reichen?

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Kennst du nicht das Einschließkriterium für Folgen? Auch bekannt als Sandwichsatz.

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Du hast Dich bei der Lösung für die Version (a+1)/a entschieden. Eigentlich steht da a+1/a.

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Danke, ich habe es korrigiert und entsprechend aufgeführt.

Answer 2

Aloha :)

Für \(x>0\) gilt:$$0\le(x-1)^2=x^2-2x+1\quad\implies\quad x^2+1\ge2x\quad\stackrel{:x}{\implies}\quad x+\frac1x\ge2$$

Da hier alle Folgenglieder \(a_n\in\mathbb R^+\) sind, gilt:

$$\sum\limits_{k=1}^n\left(a_k+\frac{1}{a_k}\right)\ge\sum\limits_{k=1}^n2=2n\quad\implies\quad\frac{1}{\sum\limits_{k=1}^n\left(a_k+\frac{1}{a_k}\right)}\le\frac{1}{2n}$$

Damit ist klar:$$0\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sum\limits_{k=1}^n\left(a_k+\frac{1}{a_k}\right)}\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2n}=0$$

Comments

Wie bist du darauf gekommen, dir die hier nützliche Abschätzung \(0\leq (x-1)^2\) anzuschauen? :D