Reihen auf Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz.

Problem/Ansatz:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{2}}$$

kann ich diese Beispiel mit Majorantenkriterium untersuchen?

Also einfach zeigen dass:

$$=1+\frac{2}{4}+\frac{6}{9}+\frac{24}{16}+\frac{120}{25}+\frac{720}{36}$$...

und das steigt immer noch bis zur Unendlichkeit?

Habe ich noch ein Beispiel aber gar keine Ahnung was ich in diesem Fall machen sollte um auf Konvergenz untersuchen:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n^{n})^2}{n^{(n^2)}}$$

Bitte wirklich um Hilfe, dass sind nur 2 Beispiele die mir fehlen in der Aufgabe.

Comments

Deine Notation ist seltsam. meinst du

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{k!}{k^{2}}$$

Die Reihe divergiert, da k!/k^2 keine Nullfolge darstellt.

bei der zweiten kannst du das Quotientenkriterium nehmen.

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Kann ich dass also mit diesem Kriterium beantworten?

Ich meine die Schreibweise...

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okay, das hab ich schon verstanden. 
hast du also vielleich noch irgendwelche Ideen für meinem 2.Baispiel?

Answer 1

Hallo Sarcia,

hast du also vielleicht noch irgendwelche Ideen für meinem 2.Beispiel?

Gast_jc2144 hat Dir bereits das Quotientenkriterium vorgeschlagen. Das Quotientenkriterium besagt, dass wenn es ein \(q \lt 1\) gibt, für das $$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le q$$ für fast alle \(n \in \mathbb{N}\) ist, dann ist die Reihe konvergent. In Deinem Fall ist $$\begin{aligned} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| &= \left| \frac{\frac{((n+1)^{n+1})^2}{(n+1)^{((n+1)^2)}}}{\frac{(n^{n})^2}{n^{(n^2)}}}\right| \\ &= \left| \frac{((n+1)^{n+1})^2 \cdot n^{(n^2)}}{(n+1)^{((n+1)^2)} \cdot (n^{n})^2}\right| \\ &= \left| \frac{(n+1)^{2n+2} \cdot n^{(n^2)}}{(n+1)^{n^2+2n+1} \cdot n^{2n}} \right| \\ &= \left| \frac{n ^{n^2-2n}}{ (n+1)^{n^2-1}}\right| \\ &\lt \left| \frac{n ^{n^2-2n}}{n^{n^2-1}}\right| \\ &= \frac{1}{n^{2n-1}}  \to 0\end{aligned}$$ also konvergiert die Reihe.

Gruß Werner

Comments

Daaanke schön!