Die Aufgabe lautet:
a) Zeige, dass für alle n ∈ N (1+ 1/n)^n ≤ \( \sum\limits_{k=0}^{n}{1/k!} \) .
Hinweis: Verwende den binomischen Lehrsatz und, dass für alle n ∈ N und k ∈ N0 mit 0 ≤ k ≤ n gilt: 1/nk \( \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \) ≤ 1/k!
b) Zeige durch Anwendung des binomischen Lehrsatzes und direktes Umformen, dass für m, n ∈ N mit m > n gilt
(1+1/m)^m ≥ 1+ \( \sum\limits_{k=1}^{n} \) 1/k! (\( \prod_{i=0}^{k-1} \) (m-i)/m )
und folgere daraus, dass für alle n ∈ N : \( \lim\limits_{m\to\infty} \) (1+1/m)^m ≥ \( \sum\limits_{k=0}^{n} \) 1/k!
c) Zeige, dass aus (a) und (b) folgt:
\( \lim\limits_{n\to\infty} \) (1+1/n)^n = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty} \) 1/k!
Punkt a) habe ich gemacht. Bei Punkt b) soll ich zeigen dass (1+1/n)^n monoton wachsend ist. Also (1+1/m)^m ≥ (1+1/n)^n mit m=n+1 >n. Ich kann aber der Produkt (\( \prod_{i=0}^{k-1} \) (m-i)/m ) nicht verstehen.
(1+1/n)^n = 1+ \( \sum\limits_{k=1}^{n} \) 1/k! (\( \prod_{i=1}^{k} \) (i+n-k)/n ) (richtig?)
\( \prod_{i=0}^{k-1} \) (m-i)/m soll also gleich \(\prod_{i=1}^{k} \) (i+n-k)/n sein, um die Monotonie von (1+1/n)^n zu zeigen. Das kann ich aber nicht sehen!
