Aloha :)
$$\phantom{=}\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(-\frac{1}{3}\right)^k=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^{n-k}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^k\right)$$Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes entpuppt sich die innere Summe als Binom:
$$=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(1-\frac{1}{3}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^n$$Wir erhalten eine geometrische Reihe, die wegen \(\frac{2}{3}<1\) konvergiert:
$$=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$$
