Reihensumme von Potenzreihe ∑n=0^∞(e/5^n)x^n, für x=1.

Question

ich gehe grade ein Paar Übungsaufgaben durch und bin and der folgenden hängen geblieben:

Berechnen Sie die Reihensumme der Potenzreihe $$ \sum _{n = 0}^{ \infty  }{ \frac { e }{ { 5 }^{ n } }  } { x }^{ n } $$ für $$ x = 1 $$

Leider fällt mir nicht mal ein vernünftiger Ansatz ein. Ein Hinweis wie man die Aufgabe lösen könnte würde mir schon sehr weiter helfen.

Vielen dank schon mal im Voraus.

Comments

Wenn nur die 5 einen Exponenten hat, kannst du e vor das Summenzeichen schreiben.

Du hast dann  zu Beginn

∑n=0^∞(e/5ⁿ)xⁿ = e* ∑n=0^∞(1/5ⁿ)xⁿ = e* ∑n=0^∞(0.2)ⁿ xⁿ

Vielleicht hilft das ja (?)

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Das war schon die ganze Fragestellung, mehr steht bei der Aufgabe nicht. Ich vermute mal es geht um die Summe der Reihe, wenn man für x 1 einsetzt, also $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{5^n} $$

Laut WolframAlpha kommt da $$ e\frac{5}{4} $$ raus, aber ich weiß leider nicht wie man zu diesem Ergebnis kommt.

Answer 1

Richtig, da steht ja x= 1. Man kann da einsetzen:

∑n=0^∞(e/5ⁿ)xⁿ = e* ∑n=0^∞(1/5ⁿ)xⁿ = e* ∑n=0^∞(0.2)ⁿ xⁿ      | x=1

=  e* ∑n=0^∞(0.2)ⁿ

                          | Summe ist eine geometrische Reihe.
                          | a0 = 1, q = 1/5, s= 1*1/(1-1/5) = 1/(4/5) = 5/4

Daher: e* ∑n=0^∞(0.2)ⁿ = e*5/4

Comments

Ah alles klar, das macht Sinn. Vielen Dank nochmal :)