Potenzreihe ausschreiben. ∑n^2 x^n

Question

Ich habe die folgende Potenzreihe:

∑n^2 x^n

Ich soll für diese Reihe nun den Konvergenzradius bestimmen und die Summe innerhalb des KR ausschreiben.

Ist das,was ich mache richtig so?

Konvergenzradius = 1 (trivial durch Wurzelkriterium)

Für |x| <1 konvergieren alle benutzten Reihen, dementsprechend kann ich innerhalb des KR Ableitung und Integral in die Summe ziehen.

Ich versuche nun mittels der geometrischen Reihe herzuleiten:

∑ x^n = 1/(1-x)   für |x| < 1

(d/dx)^2 ∑ x^{n+2} = ∑ (n+1)(n+2) x^n = ∑ (n^2+3n+2)x^n

Jetzt Spalten wir diese Summe auf:

= ∑ n^2 x^n + ∑ 3nx^n + ∑ 3 x^n = ∑ n^2 x^n  +3∑nx^n + 2 ∑ x^n

EDIT:

Kurzer Zwischenstopp:
∑ n^2 x^n  = (d/dx)^2 ∑ x^{n+2} -  3∑nx^n - 2∑ x^n

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Wir verschieben nun den Index um +2 ( Summe startet nicht mehr bei 0)
(d/dx)^2 ∑ x^{n+2} = (d/dx)^2 ∑_n=2 x^n

Wir wollen hier nun auf die geometrische Reihe kommen, also ergänzen wir mit 1 und x.

= (d/dx)^2 ∑x^n - 1 - x = (d/dx)^2 ( 1/(1-x) -1 -x) = d/dx -1/(1-x)^2 - 1 = 2/(1-x)^3

Zum zweiten Teil(auch hier wieder Indexverschiebung etc auch hier gilt):

EDIT:

3 d/dx ∑x^{n+1}  = 3  ∑(n+1)x^n = 3 ( ∑nx^n + ∑ x^n)

3( ∑nx^n) = 3( d/dx ∑x^{n+1} - ∑ x^n)

3∑nx^n = 3 ( d/dx ∑x^{n+1} - ∑ x^n) = 3 ( d/dx (∑_n=1 x^{n} - 1 )- ∑ x^n) = 3( 1/(1-x)^2 - 1/(1-x) )

=3x /(1-x)^2     Mit der Vorgehensweise komme ich also für ∑nx^n zum richtigen Ergebnis.

Oben einsetzen(Zwischenschritte schreibe ich nicht auf):
2/(1-x)^3  - 3x /(1-x)^2 - 2/(1-x)  = x(1+x) / (1-x)^3

Also gilt:

∑n^2 x^n = x(1+x) /(1-x)^3

Wäre super, wenn mal jemand drüber schauen könnte.

Answer 1

Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Comments

Ich verstehe nicht so ganz, was dort gemacht wird.

∑ n^2 x^n = d/dx x d/dx x ∑x^n

Warum gilt diese Gleichheit und was hat überhaupt die Ableitung in diesem Produkt zu bedeuten? Was leitet man dort ab?

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Hi,
$$ q \left( \sum_{k=0}^\infty q^k \right)' = q \sum_{k=0}^\infty k q^{k-1} = \sum_{k=0}^\infty k q^k $$
Ebenso kann man das Ergebnis für die zweite Ableitung herleiten.

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Alles klar danke.

Der Weg ist einfacher und geht schneller,als meiner, jedoch wollte ich trotzdem meinen Weg fertigbringen, da wir dies als Standardvorgehensweise benutzen um den Wert einer Reihe zu berechnen im KR.

Answer 2

Den Anfang habe ich nicht angeschaut. - Daher Kommentar: Warum vereinfachst du nicht? 

(-1 +x)/ (1-x)³

= - (1 - x)/ (1-x)³

= - 1/ (1-x)^2 

EDIT: Minus ergänzt. 

Comments

Ich weiß es nicht.
Müsste es dann nicht :
 -1/ (1-x)²  sein statt  1/ (1-x)<sup>2

Dann wäre das ganze aber negativ, was bei der Summe nicht sein kann.</sup>

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Ja klar, habe das in meinem Kommentar so korrigiert.

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Dementsprechend wird sich bei mir oben ein Fehler eingeschlichen haben.

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Zu deiner Frage im andern Kommentar:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Varianten

" Für |q| < 1 konvergieren nach Grenzwertbildung der zugehörigen endlichen Reihe auch die unendlichen Reihen (folglich sind diese sogar gliedweise integrierbar): "

besagt: Man darf die Summe Summandenweise ableiten. 

Ich schreibe mal ohne das Summenzeichen

q d/dq (q d/dq q^n) 

= q d/dq ( q * n q^{n-1} )

= n * q * d/dq ( q^n ) 

= n * q * n * q^{n-1}

= n^2 * q^n 

Nun das Summenzeichen wieder ergänzen. 

Solche Dinge darf man also nur innerhalb des Konvergenzbereichs der Rehe machen! - Und du solltest das auch nur tun, wenn ihr entsprechende Sätze gezeigt habt. 

Hast du https://www.mathelounge.de/300018/bestimmen-konvergenzradien-potenzreihe-komplexen-potenzreihen gesehen (?) 

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Also leite ich es quasi ab, multiplizieren dann ein q dran und wiederhole das noch einmal?

Was mche ich denn oben falsch, dass nicht dsa selbe rauskommt?

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Das finde ich im Moment auch nicht.

Nur Eines: https://www.wolframalpha.com/input/?i=-(-1%2B3+x)%2F(-1%2Bx)%5E3&lk=1&rawformassumption=

2/(1-x)³  -3/(1-x)² =  -(-1+3 x)/(-1+x)^3

Das bekommst du sicher selbst so hin. Kontrolliere vielleicht mal alle Umformungen mit WolframAlpha.

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Okay. 3 im Beitrag noch ergänzt

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Schaue nun "series representations" ganz unten hier an:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-(-1%2B3+x)%2F(-1%2Bx)%5E3

Du hast nun offenbar

Σ_(n=0)^{unendlich} (-1 + n^2) x^n

und musst noch

Σ_(n=0)^{unendlich} (-1) x^n  wegbringen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-(-1%2B3+x)%2F(-1%2Bx)%5E3+%2B+1%2F(1-x)

scheint zu passen. Schau mal, wo du diese (-1) herbekommen hast.

Warum verschiebst du die Indizes überhaupt? Hast du auf deinem Blatt die Indizes immer explizit hingeschrieben? Kann es sein, dass da etwas schief gelaufen ist?

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∑ (n+1)(n+2) xⁿ = ∑ (n²+3n+3)xⁿ

Das ist schief gelaufen.

Ich überarbeite das noch einmal.

Ich verschiebe Indizes, weil ich den Ansatz benutzt habe, dass meine Funktion der Ableitung von x^{n+2} ähnelt.

Da ich hier aber nicht weiß, wie diese Summe aussieht, möchte ich auf x^n  zurückführen. Dementsprechend schreibe ich als x^n (Verschiebung) und ergänze anschließend die fehlenden zwei Elemente, um wieder  bei n=0 starten zu können.

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Ich habe meinen Beitrag mal editiert und gekennzeichnet, was ich editiert habe.

Im Großen und Ganzen war es schließlich nur der kleine Flüchtigkeitsfehler ( 2 anstatt von 3), der alle anderen Rechnungen komplett durcheinander gebracht hat.

Vielen Dank für die Hilfe :)

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Schön. Freut mich, dass es endlich geklappt hat.

Du meinst am Schluss

∑n² xⁿ = x(1+x) / (1-x)³ für |x| < 1. 

und weiter oben:

= (d/dx)² ∑xⁿ - 1 - x = (d/dx)² ( 1/(1-x) -1 -x) = d/dx -1/(1-x)² - 1 = 2/(1-x)³