Ich habe die folgende Potenzreihe:
∑n2 xn
Ich soll für diese Reihe nun den Konvergenzradius bestimmen und die Summe innerhalb des KR ausschreiben.
Ist das,was ich mache richtig so?
Konvergenzradius = 1 (trivial durch Wurzelkriterium)
Für |x| <1 konvergieren alle benutzten Reihen, dementsprechend kann ich innerhalb des KR Ableitung und Integral in die Summe ziehen.
Ich versuche nun mittels der geometrischen Reihe herzuleiten:
∑ xn = 1/(1-x) für |x| < 1
(d/dx)2 ∑ xn+2 = ∑ (n+1)(n+2) xn = ∑ (n2+3n+2)xn
Jetzt Spalten wir diese Summe auf:
= ∑ n2 xn + ∑ 3nxn + ∑ 3 xn = ∑ n2 xn +3∑nxn + 2 ∑ xn
EDIT:
Kurzer Zwischenstopp:
∑ n2 xn = (d/dx)2 ∑ xn+2 - 3∑nxn - 2∑ xn
----
Wir verschieben nun den Index um +2 ( Summe startet nicht mehr bei 0)
(d/dx)2 ∑ xn+2 = (d/dx)2 ∑n=2 xn
Wir wollen hier nun auf die geometrische Reihe kommen, also ergänzen wir mit 1 und x.
= (d/dx)2 ∑xn - 1 - x = (d/dx)2 ( 1/(1-x) -1 -x) = d/dx -1/(1-x)2 - 1 = 2/(1-x)3
Zum zweiten Teil(auch hier wieder Indexverschiebung etc auch hier gilt):
EDIT:
3 d/dx ∑xn+1 = 3 ∑(n+1)xn = 3 ( ∑nxn + ∑ xn)
3( ∑nxn) = 3( d/dx ∑xn+1 - ∑ xn)
3∑nxn = 3 ( d/dx ∑xn+1 - ∑ xn) = 3 ( d/dx (∑n=1 xn - 1 )- ∑ xn) = 3( 1/(1-x)2 - 1/(1-x) )
=
3x /(1-x)^2 Mit der Vorgehensweise komme ich also für ∑nx^n zum richtigen Ergebnis.Oben einsetzen(Zwischenschritte schreibe ich nicht auf):
2/(1-x)3 - 3x /(1-x)2 - 2/(1-x) = x(1+x) / (1-x)3
Also gilt:
∑n2 xn = x(1+x) /(1-x)3
Wäre super, wenn mal jemand drüber schauen könnte.
