Potenzreihe in allgemeine Form umstellen

Question

ich soll die Potenzreihe  $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { { (-1) }^{ k+1 }{ (3x-2) }^{ k } }{ 2k-1 }  } $$ in die allgemeine Form $$ \sum { { a }_{ k }{ (x-{ x }_{ 0 }) }^{ k } } $$ bringen, um dann den Konvergenzradius und den Konvergenzbereich zu bestimmen.

Weiß jemand wie ich die Formel umstellen kann? Ich stehe da gerade etwas auf dem Schlauch...

x

Answer 1

$$ (3x-2)^k=(3(x-2/3))^k=3^k(x-2/3)^k $$

jetzt noch mit dem Rest kombinieren und du kannst a_k ablesen.

Answer 2

Du musst nur die Summanden umformen:

(-1)^{k+1} * (3x-2)^k  /  (2k-1)

= (-1)^{k+1} * 3^k * (x-2/3)^k  /  (2k-1)

also ist a_k = (-1)^{k+1} * 3^k  /  (2k-1)   und xo = 2/3