Gesucht Konvergenzintervall der Reihe: von k=3 bis inf ∑(x-2)^{3k}/(8^k+1)

Question

  Wir sollen von dieser Reihe das Konvergenzintervall besimmen. x_0=2. Das Problem ist ich kann leider ak nicht so umformen dass ich mittels Cauchy Hadamard den Konvergenzradius bestimmen kann. Könnte mir jemand weiterhelfen?

EDIT: Kopie aus Kommentar:

von k=3 bis inf ∑(x-2)^{3k}/(8^k+1) 

Comments

Das Bild ist nicht zu erkennen.

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von k=3 bis inf ∑(x-2)^{3k}/(8^k+1)

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ak für x0=2 ist 1/(8^k +1) beimer mittel den Konvergenzradius über Cauchy Hadamard scheitere ich dann beim umformen bekomme den Grenzwert nicht raus.

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Was soll \( a_k \) sein und woher kommt \( x_0 \)?

Sieht die Reihe so aus?

$$  \sum_{k=3}^\infty \frac{(x-2)^{3k}}{8^k+1} $$

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ja ganz gnau

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Ja und was ist jetzt \( a_k \) und \( x_0 \). Die kommen doch in der Formel gar nicht vor!

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Es geht ja darum den Konvergenradius zu bestimmen. Der Term (x-2)^3k muss zu null werden das geschiet für x=0 ak ist dann der Term wenn der Faktor (x-2)^3k zu null wird. Damit kann man dann über Cauchy Hardamard r bestimmen. Also den Radios umd die Entwicklungstellen x=2.

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x=2 sorry Tippfehler

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Sry kurze Frage nebenbei,

heißt du eigentlich Albin :-)

Answer 1

substituiere 3k durch  n, dann hast du    8^k = 2ⁿ  und

und ( x-2)ⁿ und  die Reihe für n = 1 bis unendlich

a_n  / a_n+1
= (  1 / ( 2ⁿ+1)  )  /   (  1 / (2ⁿ⁺¹  + 1 ) )

=  (2ⁿ⁺¹  + 1 )  /  (2ⁿ  + 1 )

=  (2  + 1/2ⁿ  )  /  (1  + 1/2ⁿ )

für n gegen unendlich ist der Grenzwert also  2.

Also Radius = 2.