Konvergenz von Reihen mittels Majorantenkriterium

Question

Die Reihe ist auf Konvergenz bzw. Divergenz zu untersuchen, indem man eine passende Majorante bzw. Minorante angibt.

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { (-1) }{ 1+{ 2 }^{ n } }  } $$

Meine Überlegungen waren:

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { (-1) }{ 1+{ 2 }^{ n } }  } <\frac { (-1) }{ { 2 }^{ n } } $$

$$ \frac { (-1) }{ { 2 }^{ n } } \quad konvergiert\quad gegen\quad -1 $$
Heißt das jetzt dass auch die ursprüngliche Reihe konvergieren muss oder hab ich da was falsch verstanden?

Answer 1

deine Abschätzung passt nicht, du arbeitest hier mit negativen Zahlen, außerdem fehlt auf der rechten Seite ein Summenzeichen. Zudem heißt es konvergieren und nicht konvertieren.

Falls dich die negativen Summanden irritieren, dann zeige mit deiner Vorgehensweise und der Abschätzung, dass die Reihe absolut konvergiert (damit folgt sofort auch die Konvergenz).

Gruß

Comments

Stimmt, hier habe ich ganz auf das Vorzeichen vergessen...

Nennen wir die Ausgangsreihe x_k.

Also wäre a_k ≤ x_k, was bedeutet dass ich nur dass Minorantenkriterium verwendet dürfte, was jedoch nicht möglich ist weil dazu die Reihe a_k divergent sein müsste, was sie aber nicht ist, weil sie gegen den Wert -1 konvergiert.
Sehe ich das so richtig?

---

Naja im grunde wirkt das Minorantenkritierium bei einer Reihe mit rein negativen Summanden wie das Majorantenkritierium bei rein positiven, wenn du mal drüber nachdenkst.