Problem bei Polynomdivision p(x)/q(x) mit p(x) = x^3 -x² - 8x+12, q(x) = x² - 4x+4

Question

Man bestimme durch Polynomdivision (mit möglichem
Rest?) ob das Polynom q(x) = x² - 4x+4 das Polynom p(x) = x^3 -x² - 8x+12
teilt. Weiters bestimme man die Nullstellen von p(x) (bzw. q(x), falls es Probleme
gibt).

Habe es zwar selber versucht, komme aber nur auf einen blödsinn :/

bin über jede Hilfe dankbar!

Answer 1

Polynomdivision

(x^3  -  x^2  -  8x  + 12) : (x^2 - 4x + 4)  =  x + 3   
x^3  - 4x^2  +  4x       
———————
3x^2  - 12x  + 12       
3x^2  - 12x  + 12       
———————
0

Kommen wir zu den Nullstellen

x^2 - 4x + 4 = 0
(x - 2)^2 = 0
Doppelte Nullstelle bei 2

x^3 - x^2 - 8x + 12 = (x^2 - 4x + 4) * (x + 3) = (x - 2)^2 * (x + 3)
Doppelte Nullstelle bei 2 und einfache Nullstelle bei -3.

Answer 2

Erst habe ich auch Blödsinn herausbekommen, dann habe ich es mit dem Finden der Nullstellen versucht: 

 

q(x) = x^2 - 4x + 4

Nullstelle mittels p-q-Formel: x = 2

Also lässt sich g(x) schreiben als (x-2)^2

 

p(x) = x^3 - x^2 - 8x + 12

Eine Nullstelle durch Probieren gefunden: x = 2

Polynomdivision:

(x^3 - x^2 - 8x + 12)/(x-2) = x^2 + x - 6

x^3 - x^2

-------------------

        x^2 - 8x

        x^2 - 2x

       --------------------

              -6x + 12

              -6x + 12

             ----------------

               0

Also lässt sich p(x) schreiben als (x^2 + x - 6)(x-2)

 

Dann ist p(x)/q(x) =

(x^2 + x - 6)(x-2) / (x-2)^2 =

(x^2 + x - 6)/(x-2) = x + 3

x^2 - 2x

------------

        3x - 6

        3x - 6

       -----------

        0

 

Jetzt nochmal mit den Funktionen in der ursprünglichen Schreibweise: 

p(x)/q(x) =

(x^3 - x^2 - 8x + 12) / (x^2 - 4x + 4) = x + 3

x^3 - 4x^2 + 4x

---------------------

       3x^2 - 12x + 12

       3x^2 - 12x + 12

     ----------------------------

      0

 

Geht doch :-))