Polynomdivision x herausfinden bei x^4 − 2x^3 − 2x^2 + 8x − 8 = 0 ?

Question

ich kann irgendwie nicht für

x⁴ − 2x³ − 2x² + 8x − 8 = 0            eine Zahl finden damit das ''Ergebnis'' 0 wird (für Polynomdivison)

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen :)

BYe

Answer 1

ich bin zwar in der Polynomdivsion nicht so fit, aber durch den Graphen dürfte das Raten einer Nullstelle nicht so schwer sein. :)

Wenn du bei solch einer Aufgabe nicht weiter weißt, würde ich dir empfehlen einfach eine Wertetabelle zu erstellen und/oder den Graphen zeichnen. Meistens sind ja bei solchen Aufgaben die Nullstellen rund.

~plot~ x^4-2x^3-2x^2+8x-8 ~plot~

Gruß

Smitty

Answer 2

Schnell findest du x=2 als eine Lösung.(durch Raten)

Oft sind es  kleine Zahlen wie : ± 1 oder ± 2.

Nutze diesen Link mit Erklärungen:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

(x^4  - 2x^3  - 2x^2  + 8x  - 8) : (x - 2)  =  x^3 - 2x + 4 
x^4  - 2x^3                 
——————————

              - 2x^2  + 8x  - 8
              - 2x^2  + 4x   
              ————————

                        4x  - 8
                        4x  - 8
                        —————
                              0

Answer 3

   Da gibt es eine super neue Erkenntnis, den  ===>   Satz von der rationalen Nullstelle  (  SRN  )   Der stammt aber gar nicht von Gauß, wie Wiki ( und die übrige Literatur ) behaupten.  Ich habe da eine Riesen Fälschung aufgedeckt.  Der SRN ist noch super neu;  entdeckt wurde er um 1975  -  genau deshalb kennt den auch keiner.

   Da dein Polynom normiert ist, folgt für dich aus dem SRN ,  dass  rationale Wurzeln  GANZZAHLIGE   Teiler des Absolutglides   8 sein müssen.

   Dass ich bei Wolfram gespickt habe, ist eine Sache.  Aber ich bin eben super schlau, und das kann Wolfram nicht  ersetzen.

   Die Zerlegung schaffst du nämlich durch eine LMNTAre Umformung.

  x  ^  4  −  2  x  ³   -   2  x  ²   +  8  x  −  8  =       (  1  )

 =  (  x  ^  4  −  2  x  ³  +  2  x  ²  )  -  4  (  x  ²  -  2  x  +  2  )    =     (  2  )

    =  x  ²  (  x  ²  -  2  x  +  2  )  -  4  (  x  ²  -  2  x  +  2  )  =  (  3  )

    =  (  x  ²  -  4  )  (  x  ²  -  2  x  +  2  )   =       (  4  )

   =  (  x  +  2  )  (  x  -  2  )  (  x  ²  -  2  x  +  2  )      (  5  )

Answer 4

x^4 − 2x^3 − 2x^2 + 8x − 8 = 0

Test erst mal mit den Teilern von 8 (±1, ±2, ±4, ±8). Allzu weit brauchst du nicht zu suchen, da nach dem Faktorisieren zu z.B. zu (.... +u)(x + v) =  ....... + uv , u*v = (-8) gelten muss.

Du merkst, dass x = -2 und x=2 Lösungen deiner Gleichung sind und kannst direkt durch (x-2)(x+2) = x^2 - 4 teilen oder den Ansatz x^4 − 2x^3 − 2x^2 + 8x − 8 = (x^2 - 4) ( x^2 ± ...x + 2) verwenden. (-4) * 2 = -8 

(x^4 − 2x^3 − 2x^2 + 8x − 8 ):(x^2 - 4) = x^2 - 2x + 2

- (x^4              - 4x^2)

-----------------------------

        -2x^3 + 2x^2

     -(-2x^3               - 8x)

----------------------------------

.                   2x^2              - 8

.                 -(2x^2           - 8)

-----------------------------------------

.                                       0

Die rote Zahl (-2) hättest du im Ansatz oben auch raten können.

x^4 − 2x^3 − 2x^2 + 8x − 8 = (x^2 - 4) ( x^2 -2x + 2) verwenden. (-4) * 2 = -8 und (-2x^3) = x^2 * ( -2x) 

Nun weiter mit

x^2 - 2x + 2 =  x^2 - 2x + 1 + 1 = (x-1)^2 + 1  Hier wird zu einer reellen Quadratzahl die Zahl 1 addiert. Das kann nie Null geben. 

Die Lösungsmenge der gegebenen Gleichung ist daher L = { - 2, 2 }