1) Dieses Beispiel verstehe ich nicht ganz.
Man zerlege \( \frac{3 x-1}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)^{2}} \) in Partialbrüche:
Ansatz: \( \frac{3 x-1}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)^{2}}=\frac{a x+b}{x^{2}+1}+\frac{c}{x+1}+\frac{d}{(x+1)^{2}} \)
Mit der Zuhaltemethode lässt sich zunächst nur \( d \) bestimmen:
\( d=\frac{3(-1)-1}{(-1)^{2}+1}=\frac{-4}{2}=-2 ⇒ \frac{3 x-1}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)^{2}}=\frac{a x+b}{x^{2}+1}+\frac{c}{x+1}-\frac{2}{(x+1)^{2}} \)
\( -\frac{2}{(x+1)^{2}} \) auf die linke Seite bringen:
\( \frac{3 x-1}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)^{2}}+\frac{2}{(x+1)^{2}}=\frac{a x+b}{x^{2}+1}+\frac{c}{x+1} \)
die (neue) linke Seite auf den Hauptnenner: \( \frac{3 x-1+2\left(x^{2}+1\right)}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)^{2}}=\frac{a x+b}{x^{2}+1}+\frac{c}{x+1} \)
Hier muß sich nun auf der linken Seite ein Linearfaktor \( x+1 \) kürzen lassen, d.h. der Zähler muß durch \( x+1 \) ohne Rest teilbar sein: Rechenprobe! Geht die Division nicht auf, hat man sich verrechnet!
\( \left(2 x^{2}+3 x+1\right):(x+1)=2 x+1 \)
\( \frac{3 x-1+2\left(x^{2}+1\right)}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)^{2}}=\frac{2 x^{2}+3 x+1}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)^{2}}=\frac{2 x+1}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)}=\frac{a x+b}{x^{2}+1}+\frac{c}{x+1} \)
Nun kann man \( c \) nach der Zuhaltemethode bestimmen: \( c=\frac{2(-1)+1}{(-1)^{2}+1}=-\frac{1}{2} \)
Wieder bringt man den bekannten Partialbruch auf die linke Seite, diese auf den Hauptnenner, kürzt durch \( x+1 \) und erhält:
Laut Zuhaltemethode lässt sich nur d bestimmen.
für a:
(3*(-1)-1)/(((-1)^2)+1) das würde für a -3/2 geben. Wieso geht das nicht?
wegen dem ax+b im Zähler? Weil bei d setzt man auch im Zähler die (3x-1) ein
kann ich daraus schließen wenn ax+b bzw. 2 Konsonanten(mir fällt kein anderes wort dafür ein) im Zähler stehen, das ich daraus nichts berechnen kann? Ich verstehe das nicht.
\( \frac{2 x+1+\frac{1}{2}\left(x^{2}+1\right)}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)}=\frac{a x+b}{x^{2}+1}, \quad\left(\frac{1}{2} x^{2}+2 x+\frac{3}{2}\right):(x+1)=\frac{1}{2} x+\frac{3}{2} \)
\( \frac{2 x+1}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)}=\frac{2 x+1+\frac{1}{2}\left(x^{2}+1\right)}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)}=\frac{\frac{1}{2} x+\frac{3}{2}}{x^{2}+1}=\frac{a x+b}{x^{2}+1} \)
\( \Rightarrow \quad a=\frac{1}{2}, b=\frac{3}{2} \)
PBZ: \( \frac{3 x-1}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)^{2}}=\frac{1}{2} \frac{x+3}{x^{2}+1}-\frac{1}{2} \frac{1}{x+1}-\frac{2}{(x+1)^{2}} \)
2)Meine Zusammenfassung für dieses Thema:
Bitte um Verbesserung
Je nachdem ob man die Nullstellen sofort rauslesen kann oder nicht.
Für die Nullstellenberechnung:
1) Bei echt gebrochenen Funktionen( Exponent im Nenner größer als im Zähler)
- Horner Schema/PQ-Formel für NS
2) Bei unecht gebrochenen (Zähler Exponent größer als im Nenner) Polynomdivision.
Partialbruchzerlegung
Ich habe nun die Nullstellen und kann hinschreiben:
Zähler=A(....)+B(....)+C(.....) etc hinschreiben.
Um A, B und C ......(weitere Buchstaben) ausrechnen zu können gibt es folgende Methoden
1)LGS
2) Nullstellen von A,B,C....einsetzen und die einzelnen Buchstaben ausrechnen. (werde ich nur noch benutzen)
3)Grenzwertberechnung. Limes x gegen die jew. Nullstellen laufen lassen.
4) Zuhaltemethode
