Bestimme Integrale von f(x) = (x^3 - 2x^2 + 6)/(x^2 -3x+2) und g(x)= (x^5-x^3+x)/(x^3 -x) durch Partialbruchzerlegung

Question

Berechnen Sie die folgenden Integrale durch Partiabruchzerlegung:

 $$ \int \frac { ( x ^ 3 ) - ( 2 x ^ 2 ) + 6 } { ( x 2 ) - 3 x + 2 } d x \quad \int \frac { ( x ^ 5 ) - ( x ^ 3 ) + x } { ( x ^ 3 ) - x } d x $$

Comments

Ein Beispiel für eine komplexere Partialbruchzerlegung:

https://www.mathelounge.de/9865/umfangreiche-partialbruchzerlegung-mantelflache-rotationskorpers

Bei a) und b) kannst du mit einer Polynomdivision beginnen. Dannach Partialbruchzerlegung nur für den Rest.

Meine Resultate:

a)

f(x) = 1 + 6/(x-2) - 5/(x-1) + 1

F(x) = x^2/2 + x - 5ln(1-x) + 6 ln(2-x) + C

b)

f(x) = x^2 + 0.5 *1/(x-1) - 0.5 *1/(x+1)

F(x) = 1/3*x^3 + 0.5*ln(1-x) - 0.5* ln(x+1)

 

Answer 1

Eine Erklärung wie das geht habe ich z.B. gegeben unter

https://www.mathelounge.de/11405/berechnung-des-ihntegrals-%E2%88%AB-2t-1-3-t-2t-1-dt

Schau mal ob du das nachvollziehen kannst, und wo du genau Schwierigkeiten hast.

Hat das Zählerpolynom mind. den Grad vom Nennerpolynom macht man zunächst eine Polynomdivision. Anschließend eine Partialbruchzerlegung mit dem Restpolynom

f(x) = (x^3 - 2·x^2 + 6)/(x^2 - 3·x + 2) = 6/(x - 2) - 5/(x - 1) + x + 1

F(x) = 6·ln(x - 2) - 5·ln(x - 1) + 1/2·x^2 + x + c

 

g(x) = (x^5 - x^3 + x)/(x^3 - x) = 1/(2·(x - 1)) - 1/(2·(x + 1)) + x^2

G(x) = 1/2·ln(x - 1) - 1/2·ln(x + 1) + 1/3·x^3 + c

 

Wenn Du sagst wo du genau Schwierigkeiten hast, dann mache ich den Schritt etwas ausführlicher vor.

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Wäre super alles schritt für schritt zu sehen. Das Thema ist mir noch neu und hab da generell so meine schwierigkeiten damit!

Answer 2

  Zunächst eine sensationelle Mitteilung, wie man bei Aufg. 1 die Nullstellen des Nennerpolynoms ermittelt; schau mal, was Pappi alles weiß.

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

     Gauß wird dieser Satz zugeschrieben? Man darf verwundert sein (  WARUM ist Wurzel 2 irrational; warum bloß hat sich dieser Beweis in den letzten 200 Jahren nicht durchgesetzt? )

   Gauß ist Kult;  warum nur hat kein Lehrer je von dem Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )  vernommen? Auf dem Konkurrenzportal Cosmiq gibt es Studienräte; keiner hat je meine Kommentare betreffend den SRN beantwortet, geschweige einen Hinweis auf Gauß gegeben.

    Höchlich verwundert sei sein Assistent gewesen, ließ uns ein Student in Cosmiq wissen. Lediglich die " Ganzzahligkeitsaussage über normierte Polynome " gebe es da, ließ sich mein Gewährsmann vernehmen; im allgemeinen Fall sei eine entsprechende Aussage noch nicht entdeckt - nichts als Gerüchte ...

     Sei g ( x )  ein quadratisches Poynom in primitiver Darstellung

      g  (  x  )  €  |Z  [  x  ]  :=  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0     (  1a  )

      In unserem Falle ist

              a0  =  2  ;  a2  =  1    (  1b  ) 

                 Dann besteht doch ganz typisch die Alternative: Entweder ( 1a ) ist prim, das Minimalpolynom seiner Wurzeln. Oder es zerfällt in die beiden rationalen Linearfaktoren  (  RLF  )

      x1;2  :=  p1;2  /  q1;2  €  |Q       (  2a  )

     Meine größte Trumpfkarte; unmittelbar nachdem mir der SRN bekannt wurde, entdeckte ich die beiden pq-Formeln

         p1  p2  =  a0  =  2          (  2b  )

        q1  q2  =  a2  =  1             (  2c  )

       Gauß ist doch ein Genie; und ihm, dem Entdecker des SRN , sollte die Bedeutung von ( 2bc )  verborgen geblieben sein? Völlig abwegig. Und die letzten 200 Jahre sollten die ganzen Algebrafreaks im Dornröschenschlaf im Kyffhäuser verbracht haben und absolut keiner darauf gestoßen sein? Merkwürdig. Genau das; der Wikibeitrag liest sich so verdächtig einsilbig.  Ganz wie bei den gefälschten Rembrandts und Rubens drängt sich hier der Verdacht auf, dass Gauß technische Hilfsmittel zugeschrieben werden, die ihm und seinen Zeitgenossen einfach nicht zur Verfügung standen.

   Warum Gauß einfach kein Interesse an RLF hatte. Bekannt ist ja seine makabere testamentarische Verfügung, der Sinus des 17-Ecks sei in seinen Grabstein einzumeißeln. Was begeisterte ihn so sehr an der Kreisteilungsgleichung? Nun ich vermute, insgeheim zielte er auf die Quadratur des Kreises; dann hätte er sein Testament eben geändert, in besagten Grabstein sei Pi als Quadratwurzel einzumeißeln ...

    Bei uns im Institut gab es das auch; Samisdat.  Ein Heft mit den Stilblüten des Institutsdirektors ===> Walter Greiner

   " Frau K; in 400 Jahren bin ich zwar eben so tot wie Sie. Aber im Gegensatz zu Ihnen bin ich dann eine Weltberühmtheit ... "

   In dem Fall   (  1b  )   bleibt für die Primzahl 2 wohl nicht mehr viel Auswahl.  Lediglich bei dem Vorzeichen müssen wir Acht passen, weil ja Minus Mal Minus auch Plus ergibt. Dieser Zwiespalt wird durch die cartesische Vorzeichenregel  ( CV )  entschieden - zwei Mal Plus

         0  <   x1  <  =  x2    (  3  )

     Sind  ( 2bc  )  schon hinreichend? Nein; denn woher sollen wir wissen,   dass  Ansatz  ( 2a )  erfüllt ist? Hinreichende Bedingung ist immer der Vieta von   (  4a  )

      x  ²  -  p  x  +  q  =  0    (  4a )

      p  =  x1  +  x2    ( 4b )

     Jetzt  wurde schon darauf verwiesen, dass wir hier Polynomdivision  ( PD ) durchführen müssen.

      (  x  ³  -  2  x  ²  +  6  )  /  (  x  ²  -  3  x  +  2  )  =    (  5a  )

     =  x  +  1   +    (  5b  )

     +  (  x  +  4  )  /  (  x  ²  -  3  x  +  2  )  =    (  5c  )

     Die TZ  folgt dem Ansatz

    (  x  +  4  )  /  (  x  ²  -  3  x  +  2  )  =   A  /  (  x  -  1  )  +  B  /  (  x  -  2  )        (  6  )

     Meine Neuigkeiten nehmen einfach kein Ende. Nach dem SRN ist jetzt die Rothstein-Trager-Integration dran; je mehr Polstellen, desto spürbarer die Erleichterung. Hier der Link:

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Mit jeder TZ-Aufgabe kehrt das ja wieder. Im Falle ( 1.6 ) lauten die beiden Integralkerne

             G  (  x  ;  1  )  =  (  x  +  4  )  /   (  x  -  2  )                             (  2.1a  )

    A  =  G  (  1  ;  1  )  =  (  1  +  4  )  /   (  1  -  2  )  =  (  -  5  )           (  2.1b  )

             G  (  x  ;  2  )  =  (  x  +  4  )  /   (  x  -  1  )                             (  2.1c  )

    B  =  G  (  2  ;  2  )  =      6                   (  2.1d  )

    f  (  x  )  =  x  +  1  -  5  /  (  x  -  1  )  +  6  /  (  x  -  2  )               (  2.2  )

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x++%2B++1++-++5++%2F++%28++x++-++1++%29++%2B++6++%2F++%28++x++-++2++%29+

     Diese Residuen eröffnen uns eine völlig neue Perspektive, die du von dem LGS aus nie bekommst. Jetzt denk mal von dem CIS aus. Die ganz rationale Komponente ( 1.5b ) leistet ja zu dem Residuum überhaupt keinen Beitrag. Dann könntest du doch her gehen und das Zählerpolynom in ( 2.1ac )  durch das Zählerpolynom in ( 1.5a ) ersetzen.

                G  (  x  ;  1  )  =  (  x  ³  -  2  x  ²  +  6  )  /   (  x  -  2  )                             (  2.3a  )  

                G  (  x  ;  2  )  =  (  x  ³  -  2  x  ²  +  6  )  /   (  x  -  1  )                             (  2.3b  )  

     Machen wir die Peobe; wir bilden die Differenz  ( 2.3a )  Minus ( 2.1a )

    h  (  x  )  =  x  ³  -  2  x  ²  -  x  +  2     (  2.4a  )

    Dann muss aber ( 2.4a ) die beiden Pole als Wurzeln haben x1 = 1  und x2 = 2  -  machen  wir die Probe:

   h  (  x  )  =  x  ²  (  x  -  2  )  -  (  x  -  2  )  =      (  2.4b  )

                =  (  x  -  2  ) (  x  ²  -  1  )  =  (  x  -  2  ) (  x  +  1  )  (  x  -  1  )      (  2.4c  )

    Jetzt die zweite Aufgabe;  die wesentliche Vereinfachung ist hier, dass wir nicht nur  PD  haben, sondern sogar  PDLF -  eben Falls eine vollkommen anonyme Entdeckung aus dem Internet; nur dass sich hier keiner hin stellt und es Gauß zuschreibt. Ein Kommentar bei Cosmiq macht unumstößlich deutlich, dass eure Lehrer keine Ahnung haben - aber auch, wie die Schüler über ihre Lehrer bzw. ihre eigenen Kameraden denken:

   " Während sich der Schrat da vorne an der Tafel eine geschlagene Viertelstunde mit der PD abquält, habe ICH das Ergebnis nach einer Minute längst im Kopf. "

Die PDLF kannst du nur erreichen, wenn du diese