2 Integrale zu lösen mit cos und tan

Question

Hallo ich solle folgende Summe von Integralen berechnen .

$$\int { \frac { 1 }{ \cos { (u) }  }  } du\quad +\int { 2\tan { (u)du\quad +\int { \sin { (u) } \tan { (u) }  }  }  } $$

wie gehe ich denn am besten beim ersten und letzten vor ?

für das erste würde ich sagen eine variablentransformation bzw. substitution .

3te villeicht eine partielle Integration , was mich zu -sin(u)+∫1/cos(u) du führt wofür ich dann das erste benutzen würde wenn ich es hätte :D

kann mir da jemand helfen wie ich zb bei dem ersten subtituieren sollte ?

Answer 1

kann mir da jemand helfen wie ich zb bei dem ersten subtituieren sollte ?

Das geht mit sog Weierstraß - Substitution:

https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%C3%9F-Substitution

Ich habe für u mal x geschrieben:

2. Integral:

Substitution:

z= cos(x)

3. Integral:

tan(x)= (sin(x)/(cos(x)

sin^2(x)= 1 -cos^2(x)

->Aufspaltung in 2 Integrale

Comments

Hallo Grosserloewe ich danke dir für deine Antwort , ich hab eine Zeit gebraucht um das nachvollziehen zu können , eines bleibt mir trotz der Wikipedia erklärung unklar wie sich für die substitution für 1/cos(x) = (t^2+1)/(t^2-1) ergibt wenn man hatt 1/cos(2arcsin(t)) . Die differentiale und den weiteren Verlauf hab ich nachgerechent und das gleiche bekommen =)

2tes Integral hab ich -2ln|cos(u)| +C
3tes Integral hab ich zwei Integrale ∫1/cos(u)du - ∫cos(u)das erste ist die lösung von dir und das 2te gelöst ergibt sin(u).
passt das?

---

1.)Wie sich für die substitution für 1/cos(x) = (t²+1)/(t²-1) ergibt

Meinst Du das, oder was genau ist es?

Oder willst Du wissen , wie der Ausdruck für cos(x) hergeleitet wird?

2.Integral: ist richtig

3.Integral: das paast.

---

Ok super !

Ich meine wie man den 1/Cos( x) mit t=tan(x/2) erbibt x=2arctan(t) umformt sodass sich (1+t^2)/(1-t^2) ergibt .

also wenn man einsetzt steht 1/cos(2arctan(t)) ....... =(1+t^2)/(1-t^2) .

---

Hallo

siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie

Umrechnung in andere trigonometrische Funktionen

Answer 2

Wenn du das Erste in den Tabellen nicht findest, nimmst du sec u = 1 / cos u und suchst nach der Stammfunktion des Sekans.