lim sup inf der Folge b_(n):=n^3/3^n falls n gerade und b_(n):=3^{n+1}/n^2 falls n ungerade

Question

hallo

Ich habe hier die Aufgabe, aber verstehe leider überhaupt nicht wann ich den geraden und wann den ungeraden Teil der Folge für den Limes benutze. Habe auch die Lösung

Kann mir das jemand erklären

Answer 1

zu a) Es wird jeweils untersucht, was der Grenzwert von | b_n+1 / b_n | für n gegen unendlich ist.

Das ist hier allerdings etwas aufwändiger, da ja n+1 gerade oder ungerade sein kann.

Deshalb ist in der Lösung nicht  | b_n+1 / b_n | sondern zunächst der Fall n+1 gerade, also

| b_2n / b_2n-1 |   ( vielleicht hätte man hier besser k statt n genommen, aber eignetlich ist das

ja egal.)    Der Grenzwert 0 dürfte ja wohl klar sein.

Also ist für den Fall  n+1 gerade der Grenzwert 0

Das mit dem Häufungswert 0 würde ich erst später betrachten, vielleicht besser mal erst der andere

Fall  n+1 ungerade, dann ist | b_2n+1 / b_2n | zu betrachten und das geht gegen unendlich.

Also hast du insgesamt bei | b_n+1 / b_n | eine Folge, die eine Teilfolge hat, die gegen 0 geht und eine,

die gegen unendlich geht.

Das zweite sagt ja schon, dass lim sup + unendlich ist und das erste in Verbindung

mit der Erkenntnis, dass alle Folgenglieder positiv sind, sagt:  lim inf ist 0.

Comments

! Kannst du mir noch erklären wie man beim geraden und ungeraden auf den Grenzwert kommt? Also wie man das abschätzt

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also beim Fall "gerade" stand ja in der Lösung

Da fehlte eine Klammer, hab ich rot ergänzt

b_2n / b_2n-1 = (   (2n)^3 * (2n-1)^3   )     /     (    3²ⁿ*3²ⁿ  )

und wenn man im Zähler  (2n-1)^3  durch (2n)^3  ersetzt,

hat man ja den Zähler vergrößert, also ist der Bruch ≤

dem geänderten Bruch.

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Okay habe es soweit verstanden! :)

Bloß warum schreibt man für ungerade mal 2n-1 und manchmal 2n+1??

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warum schreibt man für ungerade mal 2n-1 und manchmal 2n+1 ??

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warum schreibt man für ungerade mal 2n-1 und manchmal 2n+1 ?? 

Das ist eigentlich egal, da nur grössere n interessant sind.

 In gewissen Büchern beginnen, die Folgen mit dem Folgenglied Nummer 0, in andern mit 1.  Die erste ungerade Zahl 1 ist 2 *1 - 1 und auch 2*0 +1 . 

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oah ok ist in der Lösung das dann einfach nur geschickt gewählt?