lim(n->unendlich) x_n <=> lim inf(n->unendlich) x_n = lim sup(n->unendlich) x_n = x

Question

ich soll folgendes Beweisen:

lim_n→∞ x_n = x ⇔ lim inf_n→∞ x_n = lim sup_n→∞ x_n = x

Aber leider tu ich mich noch immer damit schwer, herauszufinden, wie ich solch einen Beweis am besten angehe. 
Mir ist, denke ich, schon bewusst, dass wenn der lim von x_n = x ist, das auch der lim inf und lim sup sein müsste. Aber ich weiß nicht, wie ich dies beweise!

Freue mich auf eure Hilfe!

Liebe Grüße
Moony

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Übrigens eine Sache die ich vergessen habe: x_n ∈  ℝ

Answer 1

Der lim sup ist der groesste Haeufungswert der Folge und der lim inf der kleinste. Eine konvergente Folge hat genau einen Haeufungswert (den Grenzwert).

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Okay, das ist aufjedenfall eine nützliche Info (die ich vorher nicht hatte)

Daher würde die "Behauptung"  schon mal stimmen. die Frage ist, wie beweist man das! (Ich gehe beinahe davon aus, dass ich beweisen muss, dass die folge x_n konvergiert) 

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Also bei mir ist "lim sup ist der groesste Haeufungswert der Folge" die Definition von lim sup. Fuer den Rest des Arguments sind nur bekannte einfache Saetze ueber kobergente Folgen und Haeufungswerte zu zitieren.

Falls ihr Abartigkeiten wie \(\limsup_{n\to\infty}a_n:=\lim_{n\to\infty}\sup_{k\ge n}a_k\) definiert habt, ist da wohl zuerst die verwertbare Aussage draus herzuleiten.

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Okay das ist schon mal eine hilfreiche Info (die ich vorher nicht hatte) Daher lässt sich der erste Teil ja darüber beweisen. 

Beim ersten Teil, spricht, zeigen das x_n konvergent ist, dachte ich an sowas (aus meiner VL)

∀ ε > 0 ∃ X ∈ ℝ: n > X ⇒ |x_n - x| < ε

So sollte das richtig sein, hätte ich zwei Fragen:
1. Reicht das als antwort

und viel wichtiger

2. Was genau sagt mir die Antwort. Ich tu mich wie bereits erwähnt etwas schwer mit der ganzen Beweisstruktur. (Ich weiß aber natürlich, was die Quantoren bedeuten ^^)

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Zu (1): Nein. Ein Beweis besteht aus Argumenten, nicht aus dem kommentarlosen Wiederholen einer Definition.

Zu (2): Wenn ihr auch "lim sup ist der groesste Haeufungswert der Folge" definiert habt, besteht der Beweis nur aus Worten: Passende Saetze und Definitionen zitieren und die Pointe machen. Etwas ausfuehrlicher als in der Antwort, denn die besteht nur aus der Pointe.

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Jetzt kann ich dir grad nicht so ganz folgen: Selbst wenn wir den lim sup  so (und den lim inf als kleinsten Häufungspunkt der Folge) definiert haben und ich dann annehme, dass eine konvergente folge genau einen Häufungspunkt, nämlich den Grenzwert der Folge, hat muss ich ja (zumindestens geh ich davon aus) immer noch beweisen, dass die Folge x_n gegen x für n gegen unendlich strebt. Und genau da hakt es bei mir. 

(Sorry wenn ich mich gerade unnötig dusselig anstelle. Hehe)

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und ich dann annehme, dass eine konvergente folge genau einen Häufungspunkt, nämlich den Grenzwert der Folge, hat

Das sollst Du nicht annehmen, sondern mit Saetzen aus der Vorlesung begruenden.

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Okay ich versuche mal so ein bisschen zusammen zu fassen, was wir in der VL notiert haben: 

Also, ja wir haben den lim inf also kleinsten bzw. lim sup als größten Häufungspunkt definiert.
Auch haben wir definiert, das Häufungspunkte Grenzwerte von konvergenten Teilfolgen sind. 
Dann haben wir noch gesagt, dass wenn H die Menge aller Häufungspunkte ist, lim inf_n→∞ x_n = minH und lim sup_n→∞ x_n = maxH. 
Leider find ich aber gerade nichts darüber, das wir irgendwo notiert haben, das konvergente Folgen genau einen Häufungspunkt (den Grenzwert) haben. Es kann zwar sein, das ich es übersehe, aber generell müsste ich doch auch eine Allgemeingültige begründung finden können. Jedoch in meinem Buch und auch im Internet finde ich dies nur so beschrieben wieder. 

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Dann fehlt Dir noch genau eine Aussage zur Lösung der Aufgabe:

Eine Folge (x_n) konvergiert genau dann zum Grenzwert x, wenn x ihr einziger Haeufungspunkt ist.

Dafuer musst Du jetzt eben selber noch einen Beweis fabrizieren.

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Als Tipp: Das erste Argument hast Du schon genannt. Zu jedem Haeufungswert einer Folge gibt es eine Teilfolge, die gegen den Haeufungswert konvergiert. Das zweite ist der Satz, dass jede Teilfolge einer konvergenten Folge ebenfalls konvergiert, und zwar gegen den gleichen Grenzwert wie die ganze Folge.

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Daran hatte ich auch gedacht doch tu och mich etwas schwer hier eine Teilfolge zu erstellen. Ich dachte an x_2n , weil diese ja doch ganz gäufig verwendet wird.

Wie ich da den Grenzwert x  beweise ist mir jedoch ein größeres Rätsel 

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Da gibt es nichts konkret zu konstruieren. Die eine Richtung geht so:

x_n → x   ⇒   jede Teilfolge konvergiert gegen x   ⇒   x ist der einzige Haeufungswert.

Da wird ueberhaupt keine Idee investiert, es werden nur die beiden Saetze verwendet.

Die Rueckrichtung musst Du selber finden.

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Ah okay, ich glaube ich gehe einfach zu Mathematisch an die Aufgabe ran xD 
Werde mir dann noch Gedanken machen. 

Danke dir (euch) für die Hilfe und Geduld :)