Aufgabe:
In Kapitel 3 wird folgendes definiert werden:
$$ \limsup _{n \rightarrow \infty} A_{n}=\left\{\omega ; \omega \in A_{n} \text { für unendlich viele } n\right\}=\bigcap_{n \geq 1} \bigcup_{k \geq n} A_{k} $$
\( \liminf _{n \rightarrow \infty} A_{n}=\left\{\omega ; \omega \in A_{n} \text { für alle bis auf endlich viele } n\right\}=\bigcup_{n \geq 1} \bigcap_{k \geq n} A_{k} \)
Sei \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge von reellen Zahlen und \( A_{n}=\left(-\infty, x_{n}\right) . \) Was ist die Beziehung zwischen \( \limsup _{n \rightarrow \infty} x_{n}, \lim \inf _{n \rightarrow \infty} x_{n}, \limsup _{n \rightarrow \infty} A_{n} \) und \( \lim \inf _{n \rightarrow \infty} A_{n} ? \)
Man betrachte \( \left(-\infty, \lim \sup _{n \rightarrow \infty} x_{n}\right],\left(-\infty, \lim \sup _{n \rightarrow \infty} x_{n}\right),\left(-\infty, \lim \inf _{n \rightarrow \infty} x_{n}\right],\left(-\infty, \liminf _{n \rightarrow \infty} x_{n}\right) \)
und \( \mathrm{z.B.}\left(x_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \) mit \( x_{n}=1-\frac{1}{n} \) oder \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \) mit
$$ x_{n}=\left\{\begin{array}{ll} 1-\frac{1}{n}, & n \text { gerade } \\ 2-\frac{1}{n}, & n \text { ungerade } \end{array}\right. $$
Es mag an den Semesterferien liegen, aber ich habe grade sehr Probleme in das Thema rein zu kommen, weil ich irgendwie keinen Ansatz finde und mir nicht sicher bin, ob ich die Aufgabe richtig verstehe.
