Umformung einer Zufallsvariablen

Question

kann mir bitte jemand diese Umformung erklären?

Aufgabe:

m=1; σ= 0,05

P(X>=t) = 0,95

P(X>=( t-1)/0,05) = P(X<=(- t-1)/0,05)

φ((-t-1)/0,05)= 0,95 = -t-1/0,05 =1,645

t= 1-0,05*1,645 = 0,91775

ich verstehe nicht wie man auf das blaue kommt? Für die einzelnen Schritte wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

Hi,

\( P(X \ge t ) \) wird mit der Transformation \( Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \) zu
$$ P(X \ge t ) = P( \sigma Z +\mu \ge t ) = P\left(Z \ge \frac{t-\mu}{\sigma}\right)  $$
und für \( Z \) gilt \( Z \in  N(0,1) \)
Weiter gilt \( P\left(Z \ge \frac{t-\mu}{\sigma}\right) = 1 - P\left(Z \lt \frac{t-\mu}{\sigma}\right) \)
Damit folgt aus $$ P(X \ge t ) = 0.95 $$
$$ P\left(Z \lt \frac{t-\mu}{\sigma}\right) = 0.05 $$
Da die Quantile für die Standardnormalverteilung üblicherweise nur ab 0.5 tabelliert sind, muss man hier die Tatsache ausnutzten das für die Verteilungsfunktion der Standard Normalverteilung gilt \( \Phi(-z) = 1-\Phi(z) \)
Damit folgt
$$ 0.05 = P\left(Z \lt \frac{t-\mu}{\sigma}\right) = 1- P\left(Z \lt -\frac{t-\mu}{\sigma}\right) $$ Also muss $$ P\left(Z \lt -\frac{t-\mu}{\sigma}\right) = 0.95 $$ gelöst werden.
Die Tabelle
https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung
ergibt \( -\frac{t-\mu}{\sigma} = 1.645 \)  also \( t = -1.645 \cdot \sigma + \mu = 0.918 \)

Comments

Mir ist allerdings nur der letzte Schritt bei der Umformung nicht klar.

-t-1/0,05=1,645

-t-1= 1,645*0,05

-t= 1,645*0,05 +1      ?

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Hi, Deine Gleichung ist nicht richtig, Du musst die Klammern richtig setzten. Richtig muss da stehen

\( -\frac{t-\mu}{\sigma} = 1.645 \)  also \( t = -1.645 \cdot \sigma + \mu = 0.918 \)