Wie kann ich den Grenzwert berechnen? Rekursiv definierte Folge: xn+1 =√(12+xn), x1=0.

Question

1. Durch die Rekursion

\( x_{n+1}=\sqrt{12+x_{n}}, \quad x_{1}=0 \)

wird eine Folge \( x_{n}, n \in \mathbb{N} \) definiert.

i) Geben Sie die ersten 4 Folgenglieder an.

ii) Berechnen Sie den möglichen Grenzwert der Folge.

iii) Zeigen Sie (z.B. mittels vollständiger Induktion), dass die Folge streng monoton wachsend ist.

iv) Zeigen Sie, dass die Folge nach oben beschränkt ist.

v) Zeigen Sie, dass die Folge konvergent ist und geben Sie den Grenzwert an.

Wie kann ich den Grenzwert berechnen?

Answer 1

ii)

x =√(12+x)
x^2 = 12 + x
x^2 - x - 12 = 0
x = 4 ∨ x = -3

Da in x =√(12+x) die Wurzel ja immer positiv ist, kann der Grenzwert hier nur 4 sein.