Zeige folgende Aussagen über Phi_A

Question

Sei \(A\in M_n\mathbb{R})\). Sei \(\phi_A: M_n(\mathbb{K}) \rightarrow M_n(\mathbb{K})\) definiert durch

\(\phi_A(M)=AM\).

1.) Beweise, dass \(\phi_A\) eine lineare Abbildung ist.

2.) Beweise, dass \(\phi_A\) genau dann bijektiv, wenn A invertierbar.

3.) es gilt: A diagonalisierbar genau dann wenn \(\phi_a\) diagonalisierbar.

Mein Ansatz:

1.) Zeige dass f(ax) = af(x) und f(w+v)=f(w)+f(v) also hier:

A*a*M=a*(AM) erklärt sich durch ass.in R

2./3.) keinen Ansatz gefunden

Answer 1

2) Rückrichtung durch Angabe der Umkehrabbildung. Bei Hinrichtung nehme man einen Vektor x (ungleich 0) mit Ax=0 (den gibt es). Die Matrix deren Spalte alle x sind liegt dann im Kern der Abbildung.

Comments

Bei Hinrichtung nehme man einen Vektor x (ungleich 0) mit Ax=0 (den gibt es).

Aua, aber nein, den gibt es grade nicht. Du meinst aber dann vermutlich eher die Kontraposition der "Hin-Richtung".

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Außerdem ist Hinrichtung vielleicht etwas unpassend.

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Hinrichtung ist ein in der Mathematik absolut üblicher und passender Begriff. Und natürlich meine ich die Hinrichtung, schrieb ich ja auch. Und die zeigt man per Kontraposition, das schrieb ich nicht hin weil ich dachte, dass das klar ist. (wie sonst fängt man den mit einer Aussage über A statt der Abbildung an).Also Yakyu, aua aber sehr wohl.

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Die Umkehrabbildung wäre dann mit AM=N: NA^-1.

Bei der ersten Implikation muss ich also zeigen, dass wenn A nicht invertierbar, auch \(\phi_A\) nicht bijektiv ist.

Also nehme ich einen Vektor x welcher nicht Null sein soll mit Ax=0.  Aber wiede nehme ich einen Vektor?

Der Schluss ist ja dann weil x im Kern liegt und nicht das Nullelement ist, ist die Abbildung nicht injektiv und somit ist sie auch nicht bijektiv.

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Bei der Umkehrabb. aufpassen, Matrixmult. ist nicht kommutativ.

Deine Frage im dritten Absatz versteh ich nicht.

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Aha ja stimmt es wäre also A^-1N als Umehrabbildung.

Bei der Frage verstehe ich nicht ganz wieso du genau Ax=0 nimmst. nud wieso x als Vektor?

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A^-1N ist keine Umkeharabbildung, das ist ein Term. (oder bei festen M eine Matrix). Φ_A^-1 ist die gesuchte Abbildung.
Ich nehme nicht Ax=0 isch nehme x. Und bastle mir dann eine Matrix (x....x) die im Kern von Φ_A liegt und nicht die Null-Matrix ist.
Wieso ich so ein x als Vektor nehme: Weils funktioniert.

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ja aber die gesuchte Abbildung \(\phi_{A^{-1}}\) ist definiert durch \(A^{-1}N\).

Aha jetzt verstehe ich.

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Hast du mir eine Idee für 3.?