Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Zeigen Sie: Dann ist f differenzierbar in a und es gilt f'(a) = c.

Question

 extrem schwer

Es sei f: I -> R stetig auf dem offenen Intervall I ⊆ R und diffenzierbar auf I \ {a} für ein a ∈ I. Es existiere c:= lim x→ a f'(x).

Zeigen Sie: Dann ist f differenzierbar in a und es gilt f'(a) = c.

Hinweis: Betrachten Sie die Folge (Xn)n∈N mit xn→ a und benutzen Sie den Mittelwertsatz.

Ich hab mehrmals versucht die Aufgabe zu lösen aber  ich schaffe es nicht.

Mein Ansatz war:
lim x→ a f'(x) = f(x) - f(a) / x - a,  und hier hab ich gesagt, da x → a =>  lim x→ a f'(x) = f(x) - f(a). 
Ich glaube nicht, dass das der richtige Weg ist.... ;( kann mir jemand vielleicht weiter helfen ?

Danke

Answer 1

Schreibe die Definition von \(f'(a)\) auf: $$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ Und dann, was wegen dem Mittelwertsatz gilt: $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(\xi)\quad\text{mit $\xi\in(a,x)$}.$$ Das will jetzt noch kombiniert werden.

Comments

Also dann soll ich einfach sagen, dass

f′(a)= lim x→ a  f(x) - f(a) / x - a  =  f'' (ξ) mit ξ ∈ (a,x)   aber wie komme ich dann auf f'(a) = c ?

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f′(a)= lim x→ a  f(x) - f(a) / x - a  =  f'' (ξ)

Der rote Teil ist voellig absurd. Wie kommst Du bloss da drauf?

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Ich glaube, dass ich es verstanden habe. Also 

f′(a)= lim x→ a  f(x) - f(a) / x - a - f(x) - f(a) / x - a =  f′(x ),  aus f(x) - f(a) / x - a - f(x) - f(a) / x - a bleibt nur 0 und
dann habe ich f'(a) = f'(x),  da aber f'(x) = c nach Voraussetzung, gilt also f'(a) = c. => f ist diffbar in a.
Geht man so vor ?

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Dir fehlt offensichtlich elementarstes Grundlagenwissen. Ich kann Dir da nicht mehr weiterhelfen.

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Sorry für's Einmischen aber du solltest vor allem erstmal drauf achten richtig Klammern zu setzen, falls du kein Latex beherrscht oder den Formeleditor nicht benutzen möchtest.

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sorry, kannst du mir vielleicht weiterhelfen, wie soll ich dies kombinieren ?