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 extrem schwer

Es sei f: I -> R stetig auf dem offenen Intervall I ⊆ R und diffenzierbar auf I \ {a} für ein a ∈ I. Es existiere c:= lim x→ a f'(x).  

Zeigen Sie: Dann ist f differenzierbar in a und es gilt f'(a) = c. 

Hinweis: Betrachten Sie die Folge (Xn)n∈N mit xn→ a und benutzen Sie den Mittelwertsatz.


Ich hab mehrmals versucht die Aufgabe zu lösen aber  ich schaffe es nicht.  


Mein Ansatz war:
lim x→ a f'(x) = f(x) - f(a) / x - a,  und hier hab ich gesagt, da x → a =>  lim x→ a f'(x) = f(x) - f(a). 
Ich glaube nicht, dass das der richtige Weg ist.... ;( kann mir jemand vielleicht weiter helfen ?

Danke

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1 Antwort

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Schreibe die Definition von \(f'(a)\) auf: $$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ Und dann, was wegen dem Mittelwertsatz gilt: $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(\xi)\quad\text{mit $\xi\in(a,x)$}.$$ Das will jetzt noch kombiniert werden.

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Also dann soll ich einfach sagen, dass

f(a)= lim x→ a  f(x) - f(a) / x - a  =  f'' (ξ) mit ξ ∈ (a,x)   aber wie komme ich dann auf f'(a) = c ?

f(a)= lim x→ a  f(x) - f(a) / x - a  =  f'' (ξ)

Der rote Teil ist voellig absurd. Wie kommst Du bloss da drauf?

Ich glaube, dass ich es verstanden habe. Also 

f(a)= lim x→ a  f(x) - f(a) / x - a - f(x) - f(a) / x - a =  f(x ),  aus f(x) - f(a) / x - a - f(x) - f(a) / x - a bleibt nur 0 und
dann habe ich f'(a) = f'(x),  da aber f'(x) = c nach Voraussetzung, gilt also f'(a) = c. => f ist diffbar in a.
Geht man so vor ? 

Dir fehlt offensichtlich elementarstes Grundlagenwissen. Ich kann Dir da nicht mehr weiterhelfen.

Sorry für's Einmischen aber du solltest vor allem erstmal drauf achten richtig Klammern zu setzen, falls du kein Latex beherrscht oder den Formeleditor nicht benutzen möchtest.
sorry, kannst du mir vielleicht weiterhelfen, wie soll ich dies kombinieren ?

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