Aufgabe: Bevölkerungswachstum

Question

Die Vereinten Nationen geben jährlich Zahlen zu Entwicklung der Weltbevölkerung heraus. 

a) Im Jahr 2000 betrug die Weltbevölkerung 6,1 Milliarden Menschen. Eine vereinfachte Modellrechnung weißt eine durchschnittliche Zunahme der Weltbevölkerung um 1,3% pro Jahr aus.

Ermitteln Sie, nach wie vielen Jahren bei dieser Modellrechnung die Bevölkerungszahl von 6,5 Milliarden Menschen überschritten wurde.

b) Im Jahr 2000 lebten auf der Erde doppelt so viele Menschen wie im Jahr 1960. Geben Sie an, in welchem Jahr sich bei gleichem Wachstumsfaktor die Weltbevölkerung wiederum verdoppelt haben wird.

Answer 1

6,1*1,013^x=6,5

x= ln(6,5/6,1)/ln1,013 = 4,92 Jahre, also nach etwa 5 Jahren

b)

3,05*q^40=6,1
q^40=2
q=2^{1/40}= 1,017479692

q^x=2

x= ln2/lnq =40 Jahre

Answer 2

a)  N(x) ist in Mrd. die Bev.zahl x Jahre nach 2000, dann gilt

N(x)=6,1*1,013^x

6,5 =6 ,1*1,013^x

1,06557 = 1,013^x

ln(1,06557) = x*ln(1,013)

x = ln(1,06557) : ln(1,013)= 4,917

also in etwa 5 Jahren im Jahre 2005.

b)  Bei gleichem Wachstumsfaktor gleiche Verpopplungszeit, also

im Jahre 2040.

Answer 3

a) Im Jahr 2000 betrug die Weltbevölkerung 6,1 Milliarden Menschen.
Eine vereinfachte Modellrechnung weißt eine durchschnittliche Zunahme
der Weltbevölkerung um 1,3% pro Jahr aus.

Ermitteln Sie, nach wie vielen Jahren bei dieser Modellrechnung die
Bevölkerungszahl von 6,5 Milliarden Menschen überschritten wurde.

B ( t ) = B0 * 1.013^t
B ( t ) = 6.1 * 1.013^t = 6.5
1.031^t = 6.5 / 6.1   | ln
ln ( 1.031^t ) = ln (6.5 / 6.1 )
t *  ln ( 1.031 ) = ln (6.5 / 6.1 )
t = ln (6.5 / 6.1 ) / ln ( 1.031 )
t = 4.92 Jahre

2000 + 4.92 = 2004.92

b) Im Jahr 2000 lebten auf der Erde doppelt so viele Menschen wie im Jahr 1960.
Geben Sie an, in welchem Jahr sich bei gleichem Wachstumsfaktor die
Weltbevölkerung wiederum verdoppelt haben wird.

auch 40 Jahre

Ein Nachweis

B ( t ) = B0 * f^t
B ( t ) / B0 = 2 = f^40
einmal ohne ln
f^40 = 2
f = 2^{1/40}
f = 1.0175  entspricht 1.75 %

1.0175^40 = 2

B ( 40 ) = B0 *  1.0175^40 = B0 * 2

In 40 Jahren findet immer eine Verdoppelung des Bestandes statt