Zerlege den Term vollständig in Faktoren: A) x^3 + 8x^2 + 5x -14

Question

Ich hab hier eine Übungsaufgabe mit 3 Teilaufgaben an der ich nicht vorbei komme; deshalb bitte ich um Hilfe. Es wäre super nett wenn der Lösungsweg dabei Stände, damit ich es auch nachvollziehen kann !

A) x³ + 8x² + 5x -14

B) x⁴ + 2x³ + 19x²  - 8x + 60

C) 4x³ + 8x²  - 11x - 15

Answer 1

x^3 + 8·x^2 + 5·x - 14 = (x - 1)·(x + 2)·(x + 7)

x^4 + 2·x^3 - 19·x^2 - 8·x + 60 = (x + 2)·(x - 2)·(x - 3)·(x + 5)

4·x^3 + 8·x^2 - 11·x - 15 = 4·(x + 1)·(x - 1.5)·(x + 2.5)

Hinweis: Ermittle über eine Wertetabelle Nullstellen und führe eine Polynomdivision durch. Bei Funktionen 2. Grades geht auch pq-Formel.

Comments

Könnten Sie eine Erklärung hinzufügen bitte? 

B) muss heißen: x⁴   + 2x³  - 19x²  - 8x +60

Entschuldigung für den Fehler.   

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Beim ersten Term. Mache einfach eine Wertetabelle von -10 bis +10 und schreibe dir die Nullstellen auf. Du hast die Nullstellen 1, -2 und -7. Damit hast du alle Möglichen Nullstellen und kannst direkt die faktorisierte Form aufschreiben. 

Genau das gleiche Vorgehen bei dem zweiten Term.

Beim dritten Term findest du eine Nullstelle bei -1 und machst eine Polynomdivision oder Horner Schema. Du erhältst eine quadratische Funktion und kannst davon noch die Nullstellen bestimmen.

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Wenn das Raten mit +1 und mit -1 keinen Erfolg hat, versucht man weiter mit +2 und -2. Das hat in beiden Fällen hier Erfolg. x⁴   + 2x³  - 19x²  - 8x +60 = (x+2)(x-2)(x-3)(x+5)

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Die meisten Taschenrechner können inzwischen eine kleine Wertetabelle machen. Damit entfällt das raten, weil gleich auf einmal alle Werte von -10 bis 10 getestet werden können. In den meisten Fällen hat man darüber alle ganzzahligen Nullstellen auf einen Schlag erledigt. 

Theoretisch sollte man noch nachweisen das dies tatsächliche Nullstellen sind und nicht eventuell durch rundung nur 0 heraus kommt. Das kann man über Polynomdivision oder Horner Schema auch machen.

Horner Schema rechnet sich aber schöner und ist kürzer.

Answer 2

> A) x³ + 8x² + 5x -14

1. Kandidaten für Nullstellen ermitteln. In Frage kommen die Teiler von 14, also 1,2,7,14 und deren Gegenzahlen.
2. Kandidaten durch einsetzen Prüfen. Es ist 1³ + 8·1² + 5·1 -14 = 0. Also ist x=1 eine Nullstelle.
3. Polynomdivision durch (x-1)

   (x³ + 8x² + 5x -14) : (x-1) = x² +9x + 14

4. x² +9x + 14 = 0 lösen. Es ist x = -2 oder x = -7
5. Lösung zusammenbauen: Es ist x³ + 8x² + 5x -14 = (x-1)·(x+2)·(x+7)
   

Beispiele für Polynomdivision findest du in deinem Mathebuch.

Answer 3

Zu A) Erste Nullstelle raten. Man versucht es zunächst mit +1 und mit - 1. Hier ist +1 eine Lösung und folglich (x - 1) der erste Linearfaktor. Dann Polynomdivision ( x³ + 8x² + 5x -14):(x-1)= x²+9x+14. Die Lösungen der quadratischen Gleichung x²+9x+14=0 führen zu den anderen Linearfaktoren (x+2) und (x+7).

Zu B) dieser Term hat genau zwei Nullstellen, die nicht ganzzahlig sind. Die kann man nur näherungsweise bestimmen.

Zu C) Siehe A), nur dass hier -1 die erste Nullstelle ist und (x+1) der erste Linearfaktor. Polynomdivision führt hier zu 4x²+4x-15. Nach Lösung der quadratischen Gleichung x₁ =3/2 und x₂ = -5/2 findet man die Linearfaktoren (2x-3) und (2x+5).