Schwerpunktberechnung homogene Halbkugel

Question

Hallo...

Ich komme bei der Berechnung des Schwerpunktes einer homogenen Halbkugel einfach nicht weiter. Ich hab prinzipiell verstanden wie ich das Problem angehe nur scheitere ich einerseits an den Grenzen und andererseits an der Durchführung. Hab zwar im Internet Beispiele gefunden aber trotzdem will es nicht klappen.

Kann mir bitte jemand langsam vorrechnen wie es geht. Wäre euch sehr dankbar!!

Answer 1

Hi,
der Schwerpunkt berechnet sich aus der Formel
$$ z_S = \frac{\underset{H}{\int \int \int }z\ dx\ dy\ dz}{V_H} $$ mit
$$ V_H = \frac{2}{3}R^3 \pi  $$ als Volumen der Halbkugel.
Einführen von Zylinderkoordinaten ergibt
$$ z_S = \frac{1}{V_H} \int_0^{2 \pi} \int_0^R \int_0^{\sqrt{R^2-r^2}} z\ r\ dz\ dr\ d\varphi $$
Die Integrationen nach \( \varphi \) und \( z \) können direkt ausgeführt werden und führen zu
$$ z_S = \frac{2\pi}{V_H}\int_0^R r\ \frac{R^2-r^2}{2}\ dr = \frac{\pi}{V_H} \left[\frac{r^2}{2}\ R^2 -\frac{R^4}{4} \right]_0^R = \frac{3}{8}R $$

Comments

Danke für die Antwort...Ich verstehe jetzt aber leider noch nicht  warum du zu beginn nach z und nicht nach r Integrierst und wie du dann auf die Grenze √R²+r² kommst. Außerdem ist mir nicht ganz klar warum du durch das Volumen dividierst.

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Hi,

(1) Warum zu Beginn über z integrieren?

s. hier https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt das ist die Definition

(2) Die Integrationsgrenzen für \( z \) sind \( 0 \) bis \( \sqrt{R^2-r^2} \) und nicht \( \sqrt{R^2+r^2} \)

\( \varphi \in [0,2\pi ] \) sollte klar sein und \( r \in [0,R]  \) denke ich auch. Die Projektion des Radius \( R \) auf die \( x-y \) Ebene ist die horizontal Distanz \( r \) und damit ergibt sich nach Pythogoras das \( z \in (0, \sqrt{R^2-r^2}) \) variiert.

(3) s. Link zu (1)

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Ok versteh ich leider immer noch nicht ganz wie du auf √R²-r² kommst! Welches Dreieck schaust du dir dazu an? Alles andere hab ich verstanden,danke.

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Hi,

\( r \) ist die horizontal Distanz in der \( x-y \) Ebene. Wenn Du dir eine Gerade vom Ursprung auf die Halbkugel Oberfläche vorstellst mit einem Höhenwinkel ungleich Null, und den Durchstosspunkt durch die Halbkugel auf die \( x -y \) Ebene projizierst, dann hat der Durchstosspunkt die Höhe \( \sqrt{R^2-r^2} \). In diesem Bereich darf \( z \)  variieren.

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Danke für die anschauliche Erklärung, ich glaub ich habs jetzt verstanden! Das heißt also ich "gehe mit meinem Dreieck die Höhe quasi ab" und für r=0 hätte ich meine gesamte Höhe R?!

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Hi, ja so ist es.