Schwerpunktberechnung eines Halbkreises in einer Funktion

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes einer Flächeals Funktion von r,die durch die Funktion -x^2/4+4 und die x-Achsebegrenzt wird, aus der ein Halbkreis mit Mittelpunkt imKoordinatenursprung und Radius r herausgeschnitten ist.

Problem/Ansatz:

Wenn ich die Schnittpunkte der Funktion an der X-Achse als r benutze, ist der Halbkreis zu groß und ich weiß nicht wei ich sonst auf das Ergebnis kommen soll. Ich habe auch versucht es als Extremwertaufgabe zu betrachten, aber da fehlen mir irgendwie noch ein paar Informationen

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~plot~ 4-x^2/4;sqrt(2^2-x^2);4-x^2/4;sqrt(12-x^2);[[-4|4|0|5]] ~plot~

Es könnte maxmimal ein Kreis mit dem Radius √12 herausgeschnitten werden. Eingezeichnet ist zusätzlich ein Kreis mit dem Radius 2.

Du sollst den Schwerpunkt in Abhängigkeit von h ausrechnen. Du könntest es dazu zunächst mit r = 2 und r = 3 machen und dann mit r verallgemeinern.

Wo siehst du da konkret die Probleme?

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Alles klar, aber wie kommt man auf die 12^-1/2?

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Alles klar, aber wie kommt man auf die 12^(-1/2)?

Du setzt die Funktionen gleich und löst nach x auf. Dann hast du die Lösung in Abhängigkeit von r. Dann suchst du das r bei der es nur genau 2 Lösungen gibt.

Aber damit brauchst du dich eigentlich ja nicht belasten. Du brauchst nur annehmen es werde ein Kreis mit gültigem Radius r ausgeschnitten, weil ein Ausschneiden eben sonst nicht möglich ist.

Deine Aufgabe besteht lediglich den Schwerpunkt zu bestimmen. Wobei die x-Komponente schon wegen der Symmetrie her bei x = 0 liegt.

Also brauchst du nur die y-Komponente bestimmen.

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Also reicht es wenn ich den allgemeinen Schwerpunkt eines Halbkreises berechne und die Bedingung r<4 nenne, weil die Funktion die x-Achse ja bei 4 und -4 schneidet?

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Also reicht es wenn ich den allgemeinen Schwerpunkt eines Halbkreises berechne

Natürlich nicht. Weil es nicht Aufgabe war nur den Schwerpunkt des Halbkreises zu berechnen.

Du musst schon den Schwerpunkt der Parabelfläche und den Schwerpunkt der Halbkreisfläche berechnen und danach den Schwerpunkt der Parabelfläche aus der der Halbkreis ausgeschnitten worden war.

Rumar hat das schon vorgemacht.

Den Gesamtschwerpunkt (y-Koordinate) bestimmst du dann als gewichtetes Mittel.

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Alles klar,

Answer 1

Ich würde so vorgehen:

(1.)  Parabelsegmentfläche  A_p berechnen

(2.)  y - Koordinate des Schwerpunkts dieses Segments :  y_Sp

(3.)  Halbkreisfläche A_h =  (π / 2) · r²

(4.)  y - Koordinate des Halbkreises:  y_Sh

Die y - Koordinate y_S des Schwerpunkts der Differenzfläche errechnet sich dann so:

y_S = [ A_p · y_Sp - A_h · y_Sh ] / [ A_p - A_h ]

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Ich werde es mal ausprobieren, vielen Dank!