a und b berechnen, so dass Gerade g:x= ( b-3 / -3b / 4 ) + s(12 / a / 0) in Ebene E: 4x-2y=8 liegt

Question

Hi!

ich soll die werte a und b berechnen dafür das g Element von E ist.

geg. : g:x= ( b-3 / -3b / 4 ) + s(12 / a / 0) und E: 4x-2y=8

ich dachte mir jetzt g u. E gleichzusetzen d. h.

x=b-3 + 12s

y=-3b + as

und dann in E einsetzen

aber das funktioniert irgendwie nicht weil mehre parameter da sind, kann mir jemand weiterhelfen?!

THX

Answer 1

geg. : g:x= ( b-3 / -3b / 4 ) + s(12 / a / 0) und E: 4x-2y=8


ich dachte mir jetzt g u. E gleichzusetzen d. h.

x=b-3 + 12s

y=-3b + as

und dann in E einsetzen

Idee gut. Beachte: s ist Parameter der Geradengleichung von g. Für jedes beliebige s bekommt man einen Punkt der Geraden g. Nun genügt es, wenn 2 Punkte der Geraden in E liegen. Dann liegt automatisch ganz g in E.

Du kannst für s 2 beliebige Werte einsetzen und so b und a bestimmen.

Am einfachsten erst mal s=0. und dann vielleicht noch s= 1.

Meine Rechnung dazu (bitte selbst nachrechnen und gegebenenfalls korrigieren)

s=0:

4(b-3) - 2(-3b)=8
4b - 12 + 6b = 8
10b = 20
b=2

s=1
4x-2y=8
4(-1 + 12) - 2(-6 + a) = 8
44 + 12 -2a = 8
56 - 8 = 2a
48 = 2a
a= 24

Comments

also soll ich jetzt x = b-3 +12*0 für s=0

und y=-3b + 1a rechnen ?

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Nein. So wie du das machen wolltest. Vgl. den Rest meiner Rechnung(oben).

Answer 2

Ich würde die Koordinatenform von E in eine Parameterdarstellung verwandeln und dann g und E gleichsetzen. 

 

Wählen wir also willkürlich 3 Punkte aus E aus: 

A (3|2|1) ist in E enthalten, denn 4*3 - 2*2 = 8

B (2|0|0) ist in E enthalten, denn 4*2 - 2*0 = 8

C (4|4|3) ist in E enthalten, denn 4*4 - 2*4 = 8

Wir erhalten die Parameterdarstellung der Ebene

E: v = A + r*(A-B) + t*(A-C) =

(3|2|1) + r*(1|2|1) + t*(-1|-2|-2)

 

Der Stützvektor von g (b-3|-3b|4) soll ja dann in der Ebene liegen (wir setzten s = 0):

b - 3 = 3 + r - t                                 => b - r + t = 6

-3b = 2 + 2r - 2t                              => -3b -2r + 2t = 2

4 = 1 + r - 2t                                    => -r + 2t = -3

b = 2

r = -11

t = -7

 

Der Punkt der Gerade (-1|-6|4) + 1*(12|a|0) muss natürlich auch in der Ebene liegen, also: 

 

(-1|-6|4) + 1*(12|a|0) = (3|2|1) + r*(1|2|1) + t*(-1|-2|-2)

-1 + 12 = 3 + r - t                         => -r + t = -8

-6 + a = 2 +2r - 2t                        => a - 2r + 2t = 8

4 = 1 + r - 2t                                 => -r + 2t = -3

a =24

r = 13

t = 5

 

Nun haben wir a und b und damit die Geradengleichung

g: x = (-1|-6|4) + s*(12|24|0)

Einen Richtungsvektor darf man auch kürzen, deshalb

g: x = (-1|-6|4) + s*(1|2|0)

Liegt diese Gerade tatsächlich in E: 4x - 2y = 8 ?

4*(-1 + s) - 2*(-6 + 2s) =

-4 +4s + 12 - 4s = 8

 

Ja :-)