DGL 2. Ordnung y'' = 2e^y auf DGL 1. Ordnung zurückführen

Question

Die folgende DGL 2. Ordnung soll auf eine DGL 1. Ordnung zurückgeführt werden und dann gelöst werden.

y´´ = 2e^y

Anfangsbedingungen: x = 0,   y = 0,   y´= -2

 

Wie packt man diese Aufgabe an? Muss man da substituieren?

Answer 1

Bis jemand die Aufgabe etwas besser lösen kann, ist vielleicht eine Lösung von Wolframalpha hilfreich.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27+%3D+2e%5Ey

Comments

Mal eine Interpretation des obigen Kommentars:

Mit der Multiplikation mit y' links und rechts hat WolframAlpha nach dem ersten Schritt links und rechts eine Funktion und ihre innere Ableitung stehen. Deshalb kann das links und rechts dann einfach (mit 2 versch. Substitutionen) integriert werden.
Nach dem Umformen der integrierten Gleichung hat man nur noch eine Dgl. 1. Ordnung.
Du musst nun selbst beurteilen, ob das die gewünschte Zurückführung ist.

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Was mache ich denn mit den Anfangsbedingungen?

Ergebnis der DGL soll sein:  y = -ln(1+x²)

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Irgendwas scheint an der Lösung verkehrt zu sein. Wolframalpha meint das ist verkehrt.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-ln%281%2Bx%5E2%29%29%27%27%3D2e%5E%28-ln%281%2Bx%5E2%29%29