Diagonale im Parallelogramm

Question

Zu beweisen:

Im Parallelogramm teilt der Schnittpunkt der Diagonalen beide Diagonalen in der Mitte.

Wechselwinlel- und Scheitelwinkelsatz dürfen angewendet werden, sowie Kongruenzsatz.

Answer 1

Es stellt sich die Frage, was denn überhaupt ein Parallelogram ist. Für den Beweis am einfachsten ist die Festlegung "Ein Parallelogramm ist ein Viereck in dem gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind". Auch wenn das ein wenig redundant ist.

1. Weil die Seiten \( a \) und \( c \) parallel sind (Parallelogrameigenschaft) sind \( \alpha_1 \) und \( \gamma_1 \) Wechselwinkel. Also ist \( \alpha_1 = \gamma_1 \).
2. Aus gleichem Grund sind \( \beta_1 \) und \( \delta_1 \) Wechselwinkel. Also ist \( \beta_1 = \delta_1 \).
3. Wegen der Parallelogrameigenschaft sind die Seiten \( a \) und \( c \) gleich lang.
4. Die Dreicke \( ABM \) und \( CDM \) stimmen in einer Seite (\( a=c \) siehe 3.) und den zwei der Seite anliegenden Winkeln überein (\( \alpha_1 = \gamma_1 \), \( \beta_1 = \delta_1 \), siehe 1. und 2.). Aufgrund des Kongruenzsatzes WSW sind die Dreiecke \( ABM \) und \( CDM \) deshalb kongruent.
5. Wegen \( \alpha_1 = \gamma_1 \) und \( a=c \) ist die der Seite \( AM \) entsprechende Seite im Dreicke \( CDM \) die Seite \( CM \). Also ist \( AM \) genau so lang wie \( CM \).