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Zu beweisen:

Im Parallelogramm teilt der Schnittpunkt der Diagonalen beide Diagonalen in der Mitte.

Wechselwinlel- und Scheitelwinkelsatz dürfen angewendet werden, sowie Kongruenzsatz.

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Es stellt sich die Frage, was denn überhaupt ein Parallelogram ist. Für den Beweis am einfachsten ist die Festlegung "Ein Parallelogramm ist ein Viereck in dem gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind". Auch wenn das ein wenig redundant ist.

Bild Mathematik

  1. Weil die Seiten a a und c c parallel sind (Parallelogrameigenschaft) sind α1 \alpha_1 und γ1 \gamma_1 Wechselwinkel. Also ist α1=γ1 \alpha_1 = \gamma_1 .
  2. Aus gleichem Grund sind β1 \beta_1 und δ1 \delta_1 Wechselwinkel. Also ist β1=δ1 \beta_1 = \delta_1 .
  3. Wegen der Parallelogrameigenschaft sind die Seiten a a und c c gleich lang.
  4. Die Dreicke ABM ABM und CDM CDM stimmen in einer Seite (a=c a=c siehe 3.) und den zwei der Seite anliegenden Winkeln überein (α1=γ1 \alpha_1 = \gamma_1 , β1=δ1 \beta_1 = \delta_1 , siehe 1. und 2.). Aufgrund des Kongruenzsatzes WSW sind die Dreiecke ABM ABM und CDM CDM deshalb kongruent.
  5. Wegen α1=γ1 \alpha_1 = \gamma_1 und a=c a=c ist die der Seite AM AM entsprechende Seite im Dreicke CDM CDM die Seite CM CM . Also ist AM AM genau so lang wie CM CM .
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