Notwendige und hinreichende Bedingung

Question

Hallo; ich war paar Tage nicht mehr in der Schule, da ich krank war, nun versuche ich das aufgeschriebene zu verstehen, doch es gelingt mir irgendwie nicht.. kann mir bitte jemand erklären, was damit gemeint ist? Und bitte nicht so kompliziert  , dankeschön :)

f(x) = 0 → Nullstelle

f'(x) = 0 → mögliche Extremstelle bei (x) (notwendig: f'(x) = 0, hinreichend f''(x) ≠ 0)

f''(x) = 0 → mögliche Wendestelle (notwendig: f''(x) = 0, hinreichend f'''(x) ≠ 0

Answer 1

Hi!

Für die x-Werte von Extrempunkten muss man die erste Ableitung gleich null setzen. Die x-Werte, die man dadurch erhält setzt man dann je in die zweite Ableitung ein. Man wird eine Zahl herausbekommen, die nicht 0 sein darf damit ein Extrempunkt vorliegt. Wichtig: Das Vorzeichen der erhaltenen Zahl Gibt Aufschluss über Hoch oder Tiefpunkt. Ist f ' ' (x) negativ liegt ein Hochpunkt vor. Ist es positiv gibt es einen Tiefpunkt.

Bei Wendestellen setzt man ja die zweite Ableitung 0. Und muss für die hinreichende Bedingung die erhaltenen x-Werte in die dritte Ableitung einsetzen. Das Ergebnis muss wieder ungleich 0 sein. Ist es positiv hat der Wendepunkt eine Rechts-Links-Krümmung. Ist das Ergebnis negativ liegt eine Links-Rechts-Krümmung vor.

Zusammengefasst:

Extrema

notwendige Bed.  : f '(x)=0     hinreichende Bed. f ''(x) ≠ 0

Wendepunkte

notwendige Bed.  : f ''(x)=0     hinreichende Bed. f '''(x) ≠ 0

Gute Besserung dir ;)

Comments

Du hast mir das alles um einiges erleichtert & super erklärt vielen Dank :-)))

Answer 2

Die erste Ableitung einer Funktion f von x gibt an jeder Stelle x des Definitiondbereichs von f die Steigung des Funktionsgraphen von f an. Wenn du nur ein paar Tage nicht in der Schule warst, weißt du vieleicht, warum das so ist. Wenn diie erste Ableitung gleich Null ist (Kurzschreibweise f'(x) = 0, dann ist also die Steigung gleich Null. Bei einer Wanderung in hügeligem Gelände spürt man, wann die Steigung gleich Null ist: entweder ganz oben auf dem Hügel oder ganz unten im Tal. Aber auch im Anstieg oder Abstieg kann kurzfristig mal die Steigung gleich Null  sein. Bergwanderer sprechen in diesem Falle von einem Sattelpunkt. Wenn ich höchste oder tiefste Punkte von Graphen suche, dann sind vor allem solche Stellen möglich, an denen die erste Ableitung (also die Steigung) gleich Null ist. Aber das genügt nicht (denke an den Sattelpunkt). f'(x) = 0 ist für Hoch- und Tiefpunkte eine notwendige aber keine hinreichende Bedingung.
Die zweite Ableitung nennt die Änderungsrate der Steigung. Diese Änderungsrate kann positiv, negativ oder Null sein. Ist sie positiv,dann nimmt die Steigung ständig zu. Das ist vor allem im Tale der Fall, wo er erst immer weniger abwärts geht und dann wieder immer stärker aufwärts geht. Oben auf dem Berge kurz vor und nach der höchten Stelle nimmt die Steigung ständig ab. Die Änderungsrate der Steigung  ist also negativ (f''(x)<0). Fazit: an der Stelle x eines Hochpunktes gilt f'(x) =0 und f''(x) < 0.an der Stelle eines Tiefpunktes gilt f'(x) = 0 und f''(x)>0.
Wenn f''(x) = 0 dann kann es kein Hoch- oder Tiefpunkt sein und muss daher ein Sattelpukt sein.

Comments

Gegenbeispiel zur letzten Aussage: f(x) = x⁴.

Answer 3

f(x_o) = 0. Nullstelle x_o ist diejenige Stelle in der der Graph die x-Achse schneidet.

f ' (x) gibt dir die Steigung an der Stelle x an.

In einer Extremalstelle verlaufen viele Funktionen (wie z.B. Polynome) kurzzeitig horizontal (waagrecht).

D.h. diejenigen Stellen x_o, für die glit f ' (x_o) = 0 , kommen als Extremalstellen in Frage. [notwendig (wenn die Funktion überall eine definierte Steigung und z.B. keine Zacken hat).]

Nun muss man noch prüfen, ob der Graph wirklich auf einer Seite von x_o steigt und auf der andern fällt. So kann man ausschliessen, dass man an der Stelle x_o nur auf einem "Bödeli" (Terrassenpunkt)  ist.

Da kann die Krümmung (2. Ableitung) helfen. Wenn ein Autofahrer geradeaus fährt, hat das Steuerrad eine gewisse Position (Grundposition). Die gefahrene "Kurve" hat die Krümmung 0. Wenn er einen Kreis fährt, ist das Steuerrad auch immer in derselben Position, die aber von der Grundposition abweicht und nicht 0 ist.

Nun soll der Autofahrer auf deiner Kurve (Strasse) rumfahren. Solange die Krümmung nicht 0 ist, kann kein Terrassenpunkt auftreten. Nun interessiert die Stelle x_o, die eine Extremalstelle sein könnte. Ist f '' (x_o) ≠ 0 , ist garantiert, dass seine Bahn immer noch in die gleiche Richtung gekrümmt ist und er nicht geradeaus fährt .

Das ist nun genug (hinreichend), um zu sagen, dass x_o eine Extremalstelle ist.

Im Fall f ''(x_o) = 0 weiss man aber immer noch nicht, ob er seine Fahrt nach rechts oder links fortsetzen wird. 

Da können dann die untersten 2 Zeilen (3. Ableitung) helfen. 

Alternativ und hinreichend für eine Extremalstelle ist ein Beweis, dass in sich an der Stelle x_o das Vorzeichen der ersten Ableitung (Steigung) des Graphen ändert. D.h., wenn der Graph links von x_o steigt und rechts fällt (oder umgekehrt), ist x_o eine Extremalstelle. Wenn die Steigung das Vorzeichen nicht ändert, hat man bei x_o nur eine Terrasse.