Notwendige und hinreichende Bedingung für LR-Zerlegungen

Question

Aufgabe:

Sei \( A=\left(a_{i j}\right)_{i, j=1, \ldots, n} \in \mathbb{R}^{n \times n} \) eine invertierbare Matrix.Zeigen Sie das eine \( L R \)-Zerlegung von \( A \) nur dann existiert, wenn \( \operatorname{det}\left(A^{[k]}\right) \neq 0 \) für alle \( k=1, \ldots, n \), wobei \( A^{[k]} \in \mathbb{R}^{k \times k}, 1 \leq k \leq n \) bezeichnet wird als
\( A^{[k]}:=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k 1} & \cdots & a_{k k} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{k \times k} \)

Hinweis: Sie können den folgenden Satz ohne Beweis verwenden:

Es sei \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) gegeben. Dann gilt für jede
untere Dreiecksmatrix \( L \in \mathbb{R}^{n \times n} \), dass
\( (L \cdot A)^{[k]}=L^{[k]} \cdot A^{[k]}, \quad k=1, \ldots, n \).

Comments

Hat vielleicht Jemand erstmal eine grobe Beweisidee, wie man das zeigen könnte? Weil mein Problem ist dabei gerade, dass ich noch nicht mal sehe, wie man es beweisen könnte.