Äquivalenzen mit Wahrheitstabelle

Question

die Aufgabe ist:

Zeigen Sie, dass p->q genau dann wahr ist, wenn ¬q -> ¬p wahr ist.

Wir sollen mit einer Wahrheitstabelle arbeiten (und mit den Teilaussagen?). Nun versteh ich nicht, wie solch eine Tabelle diese Aussage beweisen kann.

Mein Ansatz ist folgender:

p   q    p->q

w   w    w

w    f     f

f     w     w

f     f     w

man sieht hierbei, dass p->q stimmt und ¬p->¬q stimmt laut tabelle hier auch. Doch ich kann mir nicht vorstellen, dass dies genügt. Wäre schön, wenn ihr mir einen Tipp geben könnt :)

lg Saskia

Answer 1

Hallo Saskia,

zwei aussagenlogische Terme ( hier p→q und ¬ q → ¬p ) sind genau dann äquivalent, wenn ihre Wahrheitswerte - bei gleicher Belegung der Aussagenvariablen (hier p und q)  mit Wahrheitswerten -übereinstimmen.

Wenn du also deiner Tabelle die Spalte für ¬ q → ¬p  hinzufügst, hast du für beide Terme die gleichen Wahrheitswerte, was deren Gleichwertigkeit beweist.

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für deine schnelle und gute Antwort!

lg Saskia

---

Kurz noch eine Frage...

¬(p ∨ ¬q) ... wie schreibe ich es ohne Klammern? ¬p ∧ q ?

---

@Saskia: Ja. Das stimmt.

Kannst du hier überprüfen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=¬(p+∨+¬q) 

Answer 2

man sieht hierbei, dass p->q stimmt und ¬p->¬q stimmt laut tabelle hier auch.

Ich sehe das in deiner Tabelle nicht. Außerdem hast du das, was bewiesen werden soll, nämlich dass ¬q -> ¬p wahr ist, verändert. Um den geforderten Beweis zu führen,  hätten noch die Spalten  ¬p- und ¬q und ¬q -> ¬p ergänzt werden müssen. Wenn dann unter ¬q -> ¬p die gleiche Wahrheitswertefolge steht, wie unter. p->q, dann sind die Aussagen äquivalent.