Vier Aussagen mit Quantoren (wahr/falsch). Bsp: 1. ∀x∈ℕ0: ∃y∈ℕ0: x=y

Question

Betrachten Sie folgende vier Aussagen (wahr/falsch) mit Begründung.

1. ∀x∈ℕ0: ∃y∈ℕ0: x=y

2. ∀x∈ℕ0: ∀y∈ℕ0: x=y

3. ∃x∈ℕ0: ∀y∈ℕ0: x=y

4. ∃x∈ℕ0: ∃y∈ℕ0: x=y

ℕ0={0,1,2,3,4...}


Welcher dieser Aussagen sind wahr, welche sind falsch. Ist eine Aussage wahr, so geben Sie eine Begründung. Ist sie falsch, so geben Sie ein Gegenbeispiel.


Ich habe zwei Überlegungen, entweder sind alle falsch. weil x nicht gleich y sein kann, also x≠y, weil zb. wenn x=6 y nicht gleich 6 sein kann, weil ja x schon 6 ist.

Oder alle sind wahr, wenn man die Sache so betrachtet: x=6 y=6*1, oder y=5+1 usw., also x=y.

Was ist jetzt richtig?

Answer 1

1 und 4 sind richtig, 2 und 3 sind falsch.

Die Aussage 1 bedeutet: Für jede natürliche Zahl x existiert mindestens eine natürliche Zahl y, sodass x=y gilt. Das ist offenbar wahr, denn es soll ja nur irgendeine beliebige natürliche Zahl y sein: also z.B. x. Wählt man also y=x, dann gilt natürlich x=y.

 

Die Aussage 2 bedeutet: Für alle natürlichen Zahlen x und alle natürlichen Zahlen y gilt: x=y. Das ist offensichtlich falsch: es würde bedeuten, dass alle natürlichen Zahlen identisch sind. Ein Gegenbeispiel ist x=1, y = 2. Natürlich gilt:

1 ≠ 2 ⇒ x ≠ y

 

Die Aussage 3 bedeutet: Es existiert eine natürliche Zahl x, sodass für alle natürlichen Zahlen y gilt: x=y. Auch das ist falsch. Nehmen wir an, es gäbe diese natürliche Zahl x. Wählen wir außerdem zwei beliebige natürliche Zahlen y₁ und y₂, die verschieden seien, z.B. y₂ = y₁ + 1.

Dann würde aus der Aussage folgen:

y₂ = x

y₁ = x

⇒ y₂ = y₁ ⇒ y₁+1 = y₁ ⇒ 1=0

Das ist offenbar falsch.

 

Die Aussage 4 bedeutet:

Es existiert mindestens eine natürliche Zahl x, für die eine natürliche Zahl y existiert, sodass gilt: x=y.

Das ist wahr, wir haben in 1 sogar schon bewiesen, dass nicht nur eine solche Zahl x existiert, sondern dass das für alle Zahlen x gilt.