Sei n eine natürliche Zahl und seien die Aussagen A = „n ist durch 2 teilbar“,

Question

Hallo ihr Lieben, ich bin Erstsemestlerin und mache grade einige Übungen zu meine Vorlesungen. Eigentlich bin ich gut dabei und habe die meisten Aufgaben geschafft nur die folgende verstehe ich nicht:

Sei n eine natürliche Zahl und seien die Aussagen A = „n ist durch 2 teilbar“,
B = „n ist durch 3 teilbar“ und C = „n ist durch 6 teilbar“ gegeben. Gilt dann
i) C ⇒ A?
ii) C ⇒ (A ∧ B)?
iii) B ⇒ C?
iv) (A ∧ B) ⇒ C?
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Kann mir jemand weiterhelfen? Dankeee<3

Answer 1

Übersetze die Aussagen in die deutsche Sprache.

Wenn n durch 6 teilbar ist: ist n dann auch gerade?

Wenn n durch 6 teilbar ist: ist n dann auch gerade und gleichzeitg durch 3 teilbar?

Wenn n durch 3 teilbar ist: muss n dann auch durch 6 teilbar sein?

Wenn n gerade ist und zusätzlich durch 3 teilbar ist: muss n dann auch durch 6 teilbar sein?

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$A=\text{"n ist durch \(2\) teilbar"}$$$$B=\text{"n ist durch \(3\) teilbar"}$$$$C=\text{"n ist durch \(6\) teilbar"}$$

Ich mache das mal ausführlich...

$$\text{i)\quad}C\implies A$$Sein \(n\) durch \(6\) teilbar. Dann gibt es eine natürliche Zahl \(k\in\mathbb N\), sodass$$\frac n6=k\implies\frac{n}{2\cdot3}=k\implies\frac n2=3k\in\mathbb N$$Also ist \(n\) auch durch \(2\) teilbar. Dies Aussage ist wahr.

$$\text{ii)\quad}C\implies A\,\land\,B$$Sein \(n\) durch \(6\) teilbar. Dann gibt es eine natürliche Zahl \(k\in\mathbb N\), sodass$$\frac n6=k\implies\frac{n}{2\cdot3}=k\implies\frac n3=2k\in\mathbb N$$Also ist \(n\) durch \(3\) teilbar. Dass \(n\) auch durch \(2\) teilbbar ist, haben wir bereits im Fall i) gezeigt. Daher ist die Aussage wahr.

$$\text{iii)\quad}B\implies C$$Die Zahl \(n=3\) ist durch \(3\) teilbar, aber nicht durch \(6\). Wir haben also ein Gegenbeispiel gefunden. Daher ist die Aussage falsch.

$$\text{iv)\quad}A\land B\implies C$$Die Zahl \(n\) sei durch \(2\) und durch \(3\) teilbar. Es gibt daher ein \(k_1\in\mathbb N\) und ein \(k_2\in\mathbb N\) ,mit \(k_1>k_2\), sodass:$$\frac{n}{2}=k_1\quad\text{und}\quad\frac{n}{3}=k_2\quad\implies \quad\frac n6=\frac36n-\frac26n=\frac n2-\frac n3=k_1-k_2\in\mathbb N$$Die Zahl \(n\) ist also auch durch \(6\) teilbar. Die Aussage ist wahr.