Das Logistisch Modell Numerik

Question

Aufgabe:

Es bezeichne \( y(t) \) die Größe einer Population zur Zeit \( t, w>0 \) eine Wachstumskonstante und \( K>0 \) die konstante Kapazität des Lebensraums. Für das Populationswachstum schlug Verhulst (1838) die Differentialgleichung

\( y^{\prime}(t)=w \cdot y(t) \cdot\left(1-\frac{y(t)}{K}\right) \)
vor. Anfangswerte werden o.E.d.A. bei \( t=0 \) vorgegeben.

a) Lösen Sie das Anfangswertproblem \( y(0)=y_{0} \) mit \( 0 \leq y_{0} \leq K \) durch Trennung der Veränderlichen. Eine Formelsammlung für unbestimmte Integrale darf dabei verwendet werden.

b) Wie ist das Verhalten der Lösung \( y(t) \) für \( t \rightarrow+\infty \), falls \( 0<y_{0}<K \) gilt?

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte unbedingt dabei helfen?

Danke im Voraus! :)

Comments

könnte mir jemand bitte unbedingt dabei helfen?

Ja. Du musst als erstes den notwendigen Ansatz zur Trennung der Variablen aufschreiben. Wie sieht der in der konkreten Aufgabe aus?

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Danke erstmal für deine Antwort!

Könntest du bitte mit der Lösung anfangen? dann könnte ich wahrscheinlich die Lösung selbst weiter machen

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Schreibe statt y(t)' den "Bruch" \( \frac{dy}{dt} \) und multipliziere die Gleichung mit dt.

Vorher solltest du \(w \cdot y(t) \cdot\left(1-\frac{y(t)}{K}\right) \) noch ausmultiplizieren.

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Ja dann bekommen wir

dy = (w * y(t) * (y(t)² ) / k) dt

müssen wir jetzt das Integral in beiden Seiten berechnen oder?

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dy = (w * y(t) * (y(t)² ) / k) dt

Nein. Wenn du den Vorfaktor mit einer Klammer multiplizierst, in der eine Differenz steht, dann sollte nach dem Ausmultiplizieren der Klammer eine Differenz von zwei Produkten dort stehen.

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Ja ich habe mich verschrieben

dy = (w * y(t) - (y(t)² ) / k) dt

Jetzt beide seiten integrieren?

wenn ja wie kann ich die rechte Seite integrieren? das ist bisschen kompliziert

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Das ist immer noch falsch, weil nicht die gesamte Differenz durch k geteilt wird, sondern nur der Subtrahend.

wenn ja wie kann ich die rechte Seite integrieren?

Wie in der Aufgabenstelung vorgegeben:

Eine Formelsammlung für unbestimmte Integrale darf dabei verwendet werden.

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Ja du meintest so oder :

y(t) - \( \frac{y(t)²}{k} \)

was wird mit der Formelsammlung gemeint?

Könntest du mir bitte zeigen wie die rechte Seite dann aussieht?

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was wird mit der Formelsammlung gemeint?

Das ist eine Tabelle, in der die gebräuchlichsten Stammfunktionen stehen.

Wenn du sowas noch nicht hast:

https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunktionen

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Wir haben \( \int\limits_{}^{} \) dy = \( \int\limits_{}^{} \) (w * y(t) - \( \frac{y(t)²}{k} \) ) dt

Dann bekommen wir y = \( \frac{1}{2} \) (w * y(t))² - \( \frac{1}{3k} \) y(t)³ + C

Richtig?

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Hallo @abakus, Könntest du mir bitte antworten wenn du zeit hättest

Ich weiß noch nicht ob meine Lösung richtig ist..

Danke im Voraus! :)

Answer 1

Ich denke die Lösung steht hier

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion

Comments

Hallo Ullim, Ist meine Lsung richtig ? :

Wir haben \( \int\limits_{}^{} \) dy = \( \int\limits_{}^{} \) (w * y(t) - \( \frac{y(t)²}{k} \) ) dt

Dann bekommen wir y = \( \frac{1}{2} \) (w * y(t))² - \( \frac{1}{3k} \) y(t)³ + C

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nein die Lösung ist nicht richtig. Gehe doch wie in dem Link beschrieben vor. Da steht alles genau drin.