Stabilität Gleichgewichtspunkte in einer Erweiterung des Räubers-Beute-Modells

Question

wie löse ich diese Aufgabe?

Liebe Grüße

In einer Erweiterung des Räuber-Beute-Modells wird berücksichtigt, dass die Geburtenrate aufgrund von Stress sinkt, wenn die Population y1 groß wird:

y'1  =  ( 1-c*y1 ) * y1  -  y1 * y2

y'2  =                  -y2  +  y1 * y2

Dabei ist der Stressfaktor 0<c<1/2.

a) Bestimmen Sie die drei Gleichgewichtspunkte \(\overline{y}\in\mathbb{R}^2\) dieses Systems.

b) Linearisieren Sie das System an den Gleichgewichtspunkten.

c) Welche Gleichgewichtspunkte sind asymptotisch stabil oder instabil?

Answer 1

Vielleicht erläuterst du mal, was mit "Gleichgewichtspunkt" und "asymptotisch stabil" bzw. "instabil" genau gemeint ist.

Comments

Gleichgewichtspunkte = die Nullstellen

Re λi < 0 fur alle EW = Dann ist ¯y asymptotisch stabil,

Re λi > 0 fur mindestens einen EW = Dann ist ¯y instabil,

ich weiß nur soviel..

Gruß

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ich bin soviel weitergekommen und weiß nicht wie ich am besten y1 rausbekomme,

hat jemand hier eine Idee?

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Ich habe, weil offensichtlich, (0|0) und (1|1-c) als Gleichgewichtspunkte. Weniger offensichtlich, aber auch noch ohne Rechnung möglich, ist noch (1/c|0).

(1|1-c) ist auch das Ergebnis von Zeile 3 und Zeile 5 deiner Rechnung.

In Zeile 3 sollte es am Ende heißen:

=> y_1=1 oder y_2=0.

Der Hinweis "falls c≠1" am Ende von Zeile 5 ist entbehrlich, da 0<c<1/2 sein soll.

Wenn du in deiner letzten Zeile noch y_1 ausklammerst, bekommst du noch die beiden anderen Gleichgewichtspunkte.

Abgesehen von denn genannten Kleinigkeiten hast also alles richtig gemacht und musst nur noch die Früchte der letzten Zeile ernten.

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dan habe ich in der letzten Zeile

y1=0 oder y1=1/c

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Ja.                                                .

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ich habe jetzt nicht ganz verstanden was die Gleichgewichtspunkte sind.. ich habe so viele Nullstellen...

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( 1 I 0 ), ( 0 I 1-c ), ( 1/c I 0 )

sind das meine Gleichgewichtspunkte?

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Nein, wie kommst du denn darauf?

Answer 2

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Comments

vielen dank....