Ein klassisches Modell zur Beschreibung von Epidemien (nach Kermack und McKendrick) ist das sogenannte SIR-Modell. Hierbei betrachten wir eine Population der Größe \( N \). Die Funktion \( I(t) \) soll die Anzahl der infizierten Personen zur Zeit \( t \) angeben. Zur Zeit \( t=0 \) sei diese Anzahl noch sehr klein, d.h. \( I(0)=I_{0} \ll N \). Weiter sei \( S(t) \) die Anzahl der Personen zur Zeit \( t \), die sich potenziell infizieren könnten (englisch: susceptible people). Außerdem sei \( R(t) \) die Anzahl der zum Zeitpunkt \( t \) genesenen Personen (englisch: recovered people). Zum Zeitpunkt \( t=0 \) können wir dabei \( R(0)=0 \) und
\( (1)S(0)=N-I(0)=N-I_{0}=S_{0} \)
annehmen. Das Modell lässt sich dann mit Hilfe der folgenden drei Differentialgleichungen beschreiben:
\( \begin{aligned} (2) S^{\prime} & =-\beta I S \\(3) I^{\prime} & =\beta I S-\gamma I \\ (4) R^{\prime} & =\gamma I, \end{aligned} \)
wobei \( \beta \) ein Parameter ist, der die Infektiosität angibt und \( \gamma \) die Genesungsrate ist. Gleichung (3) ergibt sich aus den anderen beiden und der Modellannahme, dass
\( (5)S(t)+I(t)+R(t)=N \)
(i) Wie entwickelt sich die Epidemie für \( S>\frac{\gamma}{\beta} \) ? Wie für \( S<\frac{\gamma}{\beta} \) ?
(ii) Drücken Sie \( S(t) \) durch \( R(t) \) aus, indem Sie das Anfangswertproblem (2)+(1) mit (4) verbinden und lösen.
Hinweis: Finden Sie dazu zwei Gleichungen für \( I(t) \) und setzen gleich.
Hey, Textaufgaben fallen mir immer etwas schwer und ich stehe hier auf dem Schlauch, wäre dankbar über Hilfe :)
